Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(x+pi/4)+1

Gráfico de la función y = sin(x+pi/4)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
f(x) = sin|x + --| + 1
          \    4 /
f(x)=sin⁡(x+π4)+1f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1 
f = sin(x + pi/4) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x+π4)+1=0\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=5π4x_{2} = \frac{5 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−33.7721219065776x_{1} = -33.7721219065776
x2=−90.3207892086502x_{2} = -90.3207892086502
x3=−33.7721213865886x_{3} = -33.7721213865886
x4=−84.0376034462788x_{4} = -84.0376034462788
x5=85.6083989845666x_{5} = 85.6083989845666
x6=73.0420288301818x_{6} = 73.0420288301818
x7=41.6261019474067x_{7} = 41.6261019474067
x8=91.8915846163827x_{8} = 91.8915846163827
x9=47.9092881995972x_{9} = 47.9092881995972
x10=−77.7544181730285x_{10} = -77.7544181730285
x11=41.6261021568912x_{11} = 41.6261021568912
x12=−27.4889358644641x_{12} = -27.4889358644641
x13=−96.6039737800289x_{13} = -96.6039737800289
x14=91.8915852045393x_{14} = 91.8915852045393
x15=−46.3384914348609x_{15} = -46.3384914348609
x16=−115.453529926716x_{16} = -115.453529926716
x17=35.342917690916x_{17} = 35.342917690916
x18=−21.2057499200041x_{18} = -21.2057499200041
x19=3.92699088103501x_{19} = 3.92699088103501
x20=−40.0553060529486x_{20} = -40.0553060529486
x21=47.9092880431314x_{21} = 47.9092880431314
x22=66.7588443861661x_{22} = 66.7588443861661
x23=−14.9225646783909x_{23} = -14.9225646783909
x24=−40.0553068257685x_{24} = -40.0553068257685
x25=10.210176157677x_{25} = 10.210176157677
x26=−71.4712323525471x_{26} = -71.4712323525471
x27=79.3252148477219x_{27} = 79.3252148477219
x28=98.1747705007628x_{28} = 98.1747705007628
x29=−65.1880478408216x_{29} = -65.1880478408216
x30=3.92699107435062x_{30} = 3.92699107435062
x31=−65.188047073324x_{31} = -65.188047073324
x32=−14.9225654823937x_{32} = -14.9225654823937
x33=79.3252140527191x_{33} = 79.3252140527191
x34=73.0420296320937x_{34} = 73.0420296320937
x35=60.475659097534x_{35} = 60.475659097534
x36=−8.63937946597846x_{36} = -8.63937946597846
x37=−90.320788593313x_{37} = -90.320788593313
x38=29.0597324769089x_{38} = 29.0597324769089
x39=−58.9048626385362x_{39} = -58.9048626385362
x40=16.4933612943477x_{40} = 16.4933612943477
x41=−2.35619499491606x_{41} = -2.35619499491606
x42=54.1924728859244x_{42} = 54.1924728859244
x43=47.909287468617x_{43} = 47.909287468617
x44=16.4933619477574x_{44} = 16.4933619477574
x45=−2.35619427650782x_{45} = -2.35619427650782
x46=−71.4712326353295x_{46} = -71.4712326353295
x47=−90.3207892979081x_{47} = -90.3207892979081
x48=−71.4712330231824x_{48} = -71.4712330231824
x49=−84.0376031821128x_{49} = -84.0376031821128
x50=−52.6216774105457x_{50} = -52.6216774105457
x51=−13404.3904536702x_{51} = -13404.3904536702
x52=41.6261028817504x_{52} = 41.6261028817504
x53=35.3429168981644x_{53} = 35.3429168981644
x54=35.3429180284231x_{54} = 35.3429180284231
x55=54.1924737371634x_{55} = 54.1924737371634
x56=60.4756584532596x_{56} = 60.4756584532596
x57=10.2101765935161x_{57} = 10.2101765935161
x58=22.7765472331605x_{58} = 22.7765472331605
x59=29.0597316738462x_{59} = 29.0597316738462
x60=22.7765464742714x_{60} = 22.7765464742714
x61=−52.6216766229604x_{61} = -52.6216766229604
x62=−46.338492146518x_{62} = -46.338492146518
x63=60.4756586345947x_{63} = 60.4756586345947
x64=98.1747708802112x_{64} = 98.1747708802112
x65=85.6084000399172x_{65} = 85.6084000399172
x66=−2.35619509671576x_{66} = -2.35619509671576
x67=−33.7721210086069x_{67} = -33.7721210086069
x68=−27.4889355511657x_{68} = -27.4889355511657
x69=91.8915853225807x_{69} = 91.8915853225807
x70=−84.0376039723467x_{70} = -84.0376039723467
x71=66.7588444068268x_{71} = 66.7588444068268
x72=−33.7721205506926x_{72} = -33.7721205506926
x73=−8.63938025625821x_{73} = -8.63938025625821
x74=16.4933615389937x_{74} = 16.4933615389937
x75=85.6083993088973x_{75} = 85.6083993088973
x76=−46.3384921486845x_{76} = -46.3384921486845
x77=−77.7544176954284x_{77} = -77.7544176954284
x78=98.1747700238345x_{78} = 98.1747700238345
x79=−58.9048618338034x_{79} = -58.9048618338034
x80=−77.7544185209968x_{80} = -77.7544185209968
x81=3.92699032122665x_{81} = 3.92699032122665
x82=−27.4889352022727x_{82} = -27.4889352022727
x83=10.210175749086x_{83} = 10.210175749086
x84=79.3252143781653x_{84} = 79.3252143781653
x85=−40.0553062819826x_{85} = -40.0553062819826
x86=−96.603974564695x_{86} = -96.603974564695
x87=−21.2057506833124x_{87} = -21.2057506833124
x88=66.758843631929x_{88} = 66.758843631929
x89=54.1924733268324x_{89} = 54.1924733268324
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x + pi/4) + 1.
sin⁡(π4)+1\sin{\left(\frac{\pi}{4} \right)} + 1
Resultado:
f(0)=22+1f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1
Punto:
(0, 1 + sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x+π4)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=5π4x_{2} = \frac{5 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi         /pi   pi\ 
(--, 1 + sin|-- + --|)
 4          \4    4 / 

 5*pi         /pi   pi\ 
(----, 1 - sin|-- + --|)
  4           \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π4x_{1} = \frac{5 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]∪[5π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π4,5π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π4)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π4,3π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x+π4)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x+π4)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x + pi/4) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x+π4)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x+π4)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x+π4)+1=1−sin⁡(x−π4)\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1 = 1 - \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}
- No
sin⁡(x+π4)+1=sin⁡(x−π4)−1\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1 = \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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