Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(x-pi/4)+1

Gráfico de la función y = sin(x-pi/4)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
f(x) = sin|x - --| + 1
          \    4 /
f(x)=sin⁡(x−π4)+1f{\left(x \right)} = \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1 
f = sin(x - pi/4) + 1
Gráfico de la función
10.000010.010010.001010.002010.003010.004010.005010.006010.007010.008010.00901.201.22
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x−π4)+1=0\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=7π4x_{2} = \frac{7 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−95.0331781100243x_{1} = -95.0331781100243
x2=−82.4668068945042x_{2} = -82.4668068945042
x3=−57.3340649383309x_{3} = -57.3340649383309
x4=−7.06858300639465x_{4} = -7.06858300639465
x5=30.6305288846753x_{5} = 30.6305288846753
x6=−13.3517682670521x_{6} = -13.3517682670521
x7=24.3473435691761x_{7} = 24.3473435691761
x8=−51.050880160811x_{8} = -51.050880160811
x9=24.3473428429411x_{9} = 24.3473428429411
x10=5.49778665744676x_{10} = 5.49778665744676
x11=74.6128260362059x_{11} = 74.6128260362059
x12=−38.48451049568x_{12} = -38.48451049568
x13=93.4623809641836x_{13} = 93.4623809641836
x14=80.89601130204x_{14} = 80.89601130204
x15=−76.1836223574705x_{15} = -76.1836223574705
x16=−82.4668076486402x_{16} = -82.4668076486402
x17=−69.9004361252132x_{17} = -69.9004361252132
x18=55.7632690917622x_{18} = 55.7632690917622
x19=−44.7676949362075x_{19} = -44.7676949362075
x20=87.1791957268324x_{20} = 87.1791957268324
x21=−63.6172513986433x_{21} = -63.6172513986433
x22=87.179196532163x_{22} = 87.179196532163
x23=36.9137133606567x_{23} = 36.9137133606567
x24=−44.7676957394645x_{24} = -44.7676957394645
x25=−19.6349541562151x_{25} = -19.6349541562151
x26=55.7632697581448x_{26} = 55.7632697581448
x27=62.0464544435274x_{27} = 62.0464544435274
x28=−32.2013245603751x_{28} = -32.2013245603751
x29=−57.3340661448389x_{29} = -57.3340661448389
x30=99.7455669171649x_{30} = 99.7455669171649
x31=74.6128261686162x_{31} = 74.6128261686162
x32=−32.2013246850922x_{32} = -32.2013246850922
x33=62.0464548197962x_{33} = 62.0464548197962
x34=−82.4668084160019x_{34} = -82.4668084160019
x35=−19.6349535784194x_{35} = -19.6349535784194
x36=43.1968985712882x_{36} = 43.1968985712882
x37=−63.6172513160472x_{37} = -63.6172513160472
x38=74.6128253297082x_{38} = 74.6128253297082
x39=5.49778742084737x_{39} = 5.49778742084737
x40=24.3473430038548x_{40} = 24.3473430038548
x41=49.480083810736x_{41} = 49.480083810736
x42=68.3296411023678x_{42} = 68.3296411023678
x43=55.7632695146533x_{43} = 55.7632695146533
x44=−38.4845112392171x_{44} = -38.4845112392171
x45=36.9137135292544x_{45} = 36.9137135292544
x46=−7.06858403154703x_{46} = -7.06858403154703
x47=−25.9181398021191x_{47} = -25.9181398021191
x48=−51.0508809532154x_{48} = -51.0508809532154
x49=68.3296401642101x_{49} = 68.3296401642101
x50=18.0641572998774x_{50} = 18.0641572998774
x51=−38.4845097367869x_{51} = -38.4845097367869
x52=68.3296399673894x_{52} = 68.3296399673894
x53=43.1968993761393x_{53} = 43.1968993761393
x54=−88.7499928946682x_{54} = -88.7499928946682
x55=−38.4845089949562x_{55} = -38.4845089949562
x56=−13.3517679070915x_{56} = -13.3517679070915
x57=30.6305291275487x_{57} = 30.6305291275487
x58=−25.9181389861107x_{58} = -25.9181389861107
x59=18.0641581520455x_{59} = 18.0641581520455
x60=80.8960102705227x_{60} = 80.8960102705227
x61=68.3296407164102x_{61} = 68.3296407164102
x62=11.7809724171495x_{62} = 11.7809724171495
x63=−19.6349542791514x_{63} = -19.6349542791514
x64=93.4623817358674x_{64} = 93.4623817358674
x65=30.6305281714525x_{65} = 30.6305281714525
x66=112.311938467621x_{66} = 112.311938467621
x67=−1100.34282803356x_{67} = -1100.34282803356
x68=−0.785398584144886x_{68} = -0.785398584144886
x69=49.48008555195x_{69} = 49.48008555195
x70=49.4800845783988x_{70} = 49.4800845783988
x71=5.49778620182618x_{71} = 5.49778620182618
x72=−69.900436985499x_{72} = -69.900436985499
x73=−25.9181398431461x_{73} = -25.9181398431461
x74=−76.1836217916099x_{74} = -76.1836217916099
x75=−76.1836217199184x_{75} = -76.1836217199184
x76=11.7809725989712x_{76} = 11.7809725989712
x77=−32.2013252080042x_{77} = -32.2013252080042
x78=−63.6172507263591x_{78} = -63.6172507263591
x79=80.8960105177169x_{79} = 80.8960105177169
x80=−88.7499920925274x_{80} = -88.7499920925274
x81=−0.785397779984767x_{81} = -0.785397779984767
x82=99.7455662420405x_{82} = 99.7455662420405
x83=−13.3517689867295x_{83} = -13.3517689867295
x84=−7.06858379632121x_{84} = -7.06858379632121
x85=36.9137141478899x_{85} = 36.9137141478899
x86=11.7809719417438x_{86} = 11.7809719417438
x87=−95.0331773153567x_{87} = -95.0331773153567
x88=−57.3340654189707x_{88} = -57.3340654189707
x89=18.0641575835275x_{89} = 18.0641575835275
x90=−101.316362571075x_{90} = -101.316362571075
x91=62.0464552891756x_{91} = 62.0464552891756
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x - pi/4) + 1.
sin⁡(−π4)+1\sin{\left(- \frac{\pi}{4} \right)} + 1
Resultado:
f(0)=1−22f{\left(0 \right)} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
Punto:
(0, 1 - sqrt(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x−π4)=0\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi          /pi   pi\ 
(----, 1 - sin|-- + --|)
  4           \4    4 / 

 3*pi         /pi   pi\ 
(----, 1 + cos|-- - --|)
  4           \4    4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−π4,3π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x+π4)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=5π4x_{2} = \frac{5 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π4]∪[5π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π4,5π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x−π4)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x−π4)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x - pi/4) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x−π4)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x−π4)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x−π4)+1=1−sin⁡(x+π4)\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1 = 1 - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}
- No
sin⁡(x−π4)+1=sin⁡(x+π4)−1\sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} + 1 = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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