Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(x)/(x^2-5x+6)

Gráfico de la función y = arcsin(x)/(x^2-5x+6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         asin(x)   
f(x) = ------------
        2          
       x  - 5*x + 6
f(x)=asin⁡(x)(x2−5x)+6f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} 
f = asin(x)/(x^2 - 5*x + 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x)(x2−5x)+6=0\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x)/(x^2 - 5*x + 6).
asin⁡(0)(02−0)+6\frac{\operatorname{asin}{\left(0 \right)}}{\left(0^{2} - 0\right) + 6}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(5−2x)asin⁡(x)((x2−5x)+6)2+11−x2((x2−5x)+6)=0\frac{\left(5 - 2 x\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(asin⁡(x)(x2−5x)+6)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(asin⁡(x)(x2−5x)+6)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x)/(x^2 - 5*x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(x)x((x2−5x)+6))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(x)x((x2−5x)+6))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x)(x2−5x)+6=−asin⁡(x)x2+5x+6\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x^{2} + 5 x + 6}
- No
asin⁡(x)(x2−5x)+6=asin⁡(x)x2+5x+6\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x^{2} + 5 x + 6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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