Sr Examen

Gráfico de la función y = arcsin((x-3)/2)-lg(4-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /x - 3\             
f(x) = asin|-----| - log(4 - x)
           \  2  /             
$$f{\left(x \right)} = - \log{\left(4 - x \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}$$
f = -log(4 - x) + asin((x - 3)/2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \log{\left(4 - x \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin((x - 3)/2) - log(4 - x).
$$- \log{\left(4 - 0 \right)} + \operatorname{asin}{\left(- \frac{3}{2} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \log{\left(4 \right)} - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
Punto:
(0, -asin(3/2) - log(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{4 - x} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{4}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{7}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
       ___       /        ___\              /      ___\ 
 7   \/ 7        |  1   \/ 7 |              |1   \/ 7 | 
(- + -----, - log|- - + -----| - pi*I + asin|- + -----|)
 2     2         \  2     2  /              \4     4  / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{7}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{7}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{7}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
False

False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
False
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin((x - 3)/2) - log(4 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(4 - x \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(4 - x \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \log{\left(4 - x \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = - \log{\left(x + 4 \right)} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
- No
$$- \log{\left(4 - x \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x - 3}{2} \right)} = \log{\left(x + 4 \right)} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar