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x-log(x^2-4)
Trazado el gráfico de la función/ x-log(x^2-4)

Gráfico de la función y = x-log(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              / 2    \
f(x) = x - log\x  - 4/
$$f{\left(x \right)} = x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$ 
f = x - log(x^2 - 4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - log(x^2 - 4).
$$- \log{\left(-4 + 0^{2} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \log{\left(4 \right)} - i \pi$$
Punto:
(0, -log(4) - pi*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x}{x^{2} - 4} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
                           /               2\        
       ___        ___      |    /      ___\ |        
(1 - \/ 5, 1 - \/ 5  - log\4 - \1 - \/ 5 / / - pi*I)

                           /                2\ 
       ___        ___      |     /      ___\ | 
(1 + \/ 5, 1 + \/ 5  - log\-4 + \1 + \/ 5 / /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{5}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - log(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)} = - x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$
- No
$$x - \log{\left(x^{2} - 4 \right)} = x + \log{\left(x^{2} - 4 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x-log(x^2-4)
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