Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(2*(x+1))/(2*(x+1))

Gráfico de la función y = exp(2*(x+1))/(2*(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2*(x + 1)
       e         
f(x) = ----------
       2*(x + 1)
f(x)=e2(x+1)2(x+1)f{\left(x \right)} = \frac{e^{2 \left(x + 1\right)}}{2 \left(x + 1\right)} 
f = exp(2*(x + 1))/((2*(x + 1)))
Gráfico de la función
0-800-600-400-200200400600800-10001000-3e3053e305
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e2(x+1)2(x+1)=0\frac{e^{2 \left(x + 1\right)}}{2 \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(2*(x + 1))/((2*(x + 1))).
e22\frac{e^{2}}{2}
Resultado:
f(0)=e22f{\left(0 \right)} = \frac{e^{2}}{2}
Punto:
(0, exp(2)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
212(x+1)e2x+2−e2x+22(x+1)2=02 \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} e^{2 x + 2} - \frac{e^{2 x + 2}}{2 \left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, E)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2−2x+1+1(x+1)2)e2x+2x+1=0\frac{\left(2 - \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) e^{2 x + 2}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e2(x+1)2(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 \left(x + 1\right)}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e2(x+1)2(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 \left(x + 1\right)}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(2*(x + 1))/((2*(x + 1))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(12(x+1)e2x+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} e^{2 x + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(12(x+1)e2x+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} e^{2 x + 2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e2(x+1)2(x+1)=e2−2x2−2x\frac{e^{2 \left(x + 1\right)}}{2 \left(x + 1\right)} = \frac{e^{2 - 2 x}}{2 - 2 x}
- No
e2(x+1)2(x+1)=−e2−2x2−2x\frac{e^{2 \left(x + 1\right)}}{2 \left(x + 1\right)} = - \frac{e^{2 - 2 x}}{2 - 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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