Sr Examen

Otras calculadoras

(x^2-x-1)/(x^2-2x)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (1-x^3)/x^2 (1-x^3)/x^2
  • x/(x^2-5) x/(x^2-5)
  • 3*x-x^3 3*x-x^3
  • x/(x^3+2) x/(x^3+2)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos -x- uno)/(x^ dos -2x)
  • (x al cuadrado menos x menos 1) dividir por (x al cuadrado menos 2x)
  • (x en el grado dos menos x menos uno) dividir por (x en el grado dos menos 2x)
  • (x2-x-1)/(x2-2x)
  • x2-x-1/x2-2x
  • (x²-x-1)/(x²-2x)
  • (x en el grado 2-x-1)/(x en el grado 2-2x)
  • x^2-x-1/x^2-2x
  • (x^2-x-1) dividir por (x^2-2x)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2-x-1)/(x^2+2x)
  • (x^2+x-1)/(x^2-2x)
  • (x^2-x+1)/(x^2-2x)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-x-1)/(x^2-2x)

Gráfico de la función y = (x^2-x-1)/(x^2-2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2        
       x  - x - 1
f(x) = ----------
         2       
        x  - 2*x
f(x)=(x2−x)−1x2−2xf{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} 
f = (x^2 - x - 1)/(x^2 - 2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−x)−1x2−2x=0\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12−52x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=12+52x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Solución numérica
x1=−0.618033988749895x_{1} = -0.618033988749895
x2=1.61803398874989x_{2} = 1.61803398874989
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - x - 1)/(x^2 - 2*x).
−1+(02−0)02−0\frac{-1 + \left(0^{2} - 0\right)}{0^{2} - 0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2−2x)((x2−x)−1)(x2−2x)2+2x−1x2−2x=0\frac{\left(2 - 2 x\right) \left(\left(x^{2} - x\right) - 1\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+(1−4(x−1)2x(x−2))(−x2+x+1)x(x−2)−2(x−1)(2x−1)x(x−2))x(x−2)=0\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→0−(2(1+(1−4(x−1)2x(x−2))(−x2+x+1)x(x−2)−2(x−1)(2x−1)x(x−2))x(x−2))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(1+(1−4(x−1)2x(x−2))(−x2+x+1)x(x−2)−2(x−1)(2x−1)x(x−2))x(x−2))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2(1+(1−4(x−1)2x(x−2))(−x2+x+1)x(x−2)−2(x−1)(2x−1)x(x−2))x(x−2))=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(2(1+(1−4(x−1)2x(x−2))(−x2+x+1)x(x−2)−2(x−1)(2x−1)x(x−2))x(x−2))=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−x)−1x2−2x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((x2−x)−1x2−2x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - x - 1)/(x^2 - 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−x)−1x(x2−2x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2−x)−1x(x2−2x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−x)−1x2−2x=x2+x−1x2+2x\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} + 2 x}
- No
(x2−x)−1x2−2x=−x2+x−1x2+2x\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = - \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} + 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-x-1)/(x^2-2x)
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