Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos -x- uno)/(x^ dos -2x)
- (x al cuadrado menos x menos 1) dividir por (x al cuadrado menos 2x)
- (x en el grado dos menos x menos uno) dividir por (x en el grado dos menos 2x)
- (x2-x-1)/(x2-2x)
- x2-x-1/x2-2x
- (x²-x-1)/(x²-2x)
- (x en el grado 2-x-1)/(x en el grado 2-2x)
- x^2-x-1/x^2-2x
- (x^2-x-1) dividir por (x^2-2x)
-
Expresiones semejantes
- (x^2-x+1)/(x^2-2x)
- (x^2-x-1)/(x^2+2x)
- (x^2+x-1)/(x^2-2x)
Gráfico de la función y = (x^2-x-1)/(x^2-2x)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x - x - 1
f(x) = ----------
2
x - 2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x}$$
f = (x^2 - x - 1)/(x^2 - 2*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(2 - 2 x\right) \left(\left(x^{2} - x\right) - 1\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(2 - 2 x\right) \left(\left(x^{2} - x\right) - 1\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} + \frac{2 x - 1}{x^{2} - 2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(- x^{2} + x + 1\right)}{x \left(x - 2\right)} - \frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 1\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - x - 1)/(x^2 - 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} + 2 x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = - \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} + 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} + 2 x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - x\right) - 1}{x^{2} - 2 x} = - \frac{x^{2} + x - 1}{x^{2} + 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico