Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$x \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(- e\right)^{x} \left(- e^{x} + e^{- x}\right) e^{- x}}{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}} + \sin{\left(x \right)} + \frac{- \left(- e\right)^{x} e^{- x} + \left(- e\right)^{x} \left(1 + i \pi\right) e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 42.4350618814099$$
$$x_{2} = -83.2642147040886$$
$$x_{3} = -92.687771772017$$
$$x_{4} = 48.7152107175577$$
$$x_{5} = -95.8290108090195$$
$$x_{6} = 83.2642147040886$$
$$x_{7} = -64.4181717218392$$
$$x_{8} = -58.1366632448992$$
$$x_{9} = 102.111554139654$$
$$x_{10} = -70.69997803861$$
$$x_{11} = 92.687771772017$$
$$x_{12} = 54.9960525574964$$
$$x_{13} = -42.4350618814099$$
$$x_{14} = 76.9820093304187$$
$$x_{15} = -54.9960525574964$$
$$x_{16} = 45.57503179559$$
$$x_{17} = -80.1230928148503$$
$$x_{18} = 61.2773745335697$$
$$x_{19} = -98.9702722883957$$
$$x_{20} = 80.1230928148503$$
$$x_{21} = -61.2773745335697$$
$$x_{22} = 86.4053708116885$$
$$x_{23} = 64.4181717218392$$
$$x_{24} = -89.5465575382492$$
$$x_{25} = 73.8409691490209$$
$$x_{26} = -73.8409691490209$$
$$x_{27} = -51.855560729152$$
$$x_{28} = -86.4053708116885$$
$$x_{29} = -48.7152107175577$$
$$x_{30} = -67.5590428388084$$
$$x_{31} = 67.5590428388084$$
$$x_{32} = 51.855560729152$$
$$x_{33} = -76.9820093304187$$
$$x_{34} = -45.57503179559$$
$$x_{35} = 58.1366632448992$$
$$x_{36} = 89.5465575382492$$
$$x_{37} = 98.9702722883957$$
$$x_{38} = 70.69997803861$$
$$x_{39} = 95.8290108090195$$
Signos de extremos en los puntos:
(42.43506188140989, -42.4232840772591 + 3.64406221681416e-19*I)
(-83.26421470408864, 83.2582103729533 + 5.09153602460438e-37*I)
(-92.687771772017, -92.6823777880592 - 4.63244820243205e-41*I)
(48.715210717557724, -48.7049502253679 + 5.43696449694713e-22*I)
(-95.82901080901948, 95.8237936084657 + 1.23315182610757e-42*I)
(83.26421470408864, 83.2582103729533 - 5.09153602460438e-37*I)
(-64.41817172183916, 64.4104113393753 - 1.02101539286205e-28*I)
(-58.13666324489916, 58.1280647280857 - 2.34933057997456e-26*I)
(102.11155413965392, 102.106657886316 + 1.54605283051173e-45*I)
(-70.69997803861, 70.6929069615931 - 1.59723596255949e-31*I)
(92.687771772017, -92.6823777880592 + 4.63244820243205e-41*I)
(54.99605255749639, -54.9869632496976 + 1.61797721607199e-26*I)
(-42.43506188140989, -42.4232840772591 - 3.64406221681416e-19*I)
(76.98200933041872, 76.9755151282637 + 2.08499057569284e-35*I)
(-54.99605255749639, -54.9869632496976 - 1.61797721607199e-26*I)
(45.57503179559002, 45.5640648360268 - 1.56616053871094e-20*I)
(-80.12309281485025, -80.1168531456592 - 6.01847913110505e-36*I)
(61.277374533569656, -61.2692165444766 - 1.86795364076796e-27*I)
(-98.9702722883957, -98.9652206531187 - 9.71486370052824e-45*I)
(80.12309281485025, -80.1168531456592 + 6.01847913110505e-36*I)
(-61.277374533569656, -61.2692165444766 + 1.86795364076796e-27*I)
(86.40537081168854, -86.3995847156108 + 2.85195995242999e-38*I)
(64.41817172183916, 64.4104113393753 + 1.02101539286205e-28*I)
(-89.54655753824919, 89.5409743728852 + 1.27573952608076e-39*I)
(73.8409691490209, -73.8341987715416 - 4.08964550506982e-33*I)
(-73.8409691490209, -73.8341987715416 + 4.08964550506982e-33*I)
(-51.85556072915197, 51.8459212502015 + 1.32203699404896e-23*I)
(-86.40537081168854, -86.3995847156108 - 2.85195995242999e-38*I)
(-48.715210717557724, -48.7049502253679 - 5.43696449694713e-22*I)
(-67.5590428388084, -67.5516431209725 + 4.48710347494403e-30*I)
(67.5590428388084, -67.5516431209725 - 4.48710347494403e-30*I)
(51.85556072915197, 51.8459212502015 - 1.32203699404896e-23*I)
(-76.98200933041872, 76.9755151282637 - 2.08499057569284e-35*I)
(-45.57503179559002, 45.5640648360268 + 1.56616053871094e-20*I)
(58.13666324489916, 58.1280647280857 + 2.34933057997456e-26*I)
(89.54655753824919, 89.5409743728852 - 1.27573952608076e-39*I)
(98.9702722883957, -98.9652206531187 + 9.71486370052824e-45*I)
(70.69997803861, 70.6929069615931 + 1.59723596255949e-31*I)
(95.82901080901948, 95.8237936084657 - 1.23315182610757e-42*I)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 42.4350618814099$$
$$x_{2} = -92.687771772017$$
$$x_{3} = 48.7152107175577$$
$$x_{4} = 92.687771772017$$
$$x_{5} = 54.9960525574964$$
$$x_{6} = -42.4350618814099$$
$$x_{7} = -54.9960525574964$$
$$x_{8} = -80.1230928148503$$
$$x_{9} = 61.2773745335697$$
$$x_{10} = -98.9702722883957$$
$$x_{11} = 80.1230928148503$$
$$x_{12} = -61.2773745335697$$
$$x_{13} = 86.4053708116885$$
$$x_{14} = 73.8409691490209$$
$$x_{15} = -73.8409691490209$$
$$x_{16} = -86.4053708116885$$
$$x_{17} = -48.7152107175577$$
$$x_{18} = -67.5590428388084$$
$$x_{19} = 67.5590428388084$$
$$x_{20} = 98.9702722883957$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{20} = -83.2642147040886$$
$$x_{20} = -95.8290108090195$$
$$x_{20} = 83.2642147040886$$
$$x_{20} = -64.4181717218392$$
$$x_{20} = -58.1366632448992$$
$$x_{20} = 102.111554139654$$
$$x_{20} = -70.69997803861$$
$$x_{20} = 76.9820093304187$$
$$x_{20} = 45.57503179559$$
$$x_{20} = 64.4181717218392$$
$$x_{20} = -89.5465575382492$$
$$x_{20} = -51.855560729152$$
$$x_{20} = 51.855560729152$$
$$x_{20} = -76.9820093304187$$
$$x_{20} = -45.57503179559$$
$$x_{20} = 58.1366632448992$$
$$x_{20} = 89.5465575382492$$
$$x_{20} = 70.69997803861$$
$$x_{20} = 95.8290108090195$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.9702722883957, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -98.9702722883957\right]$$