Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2*x-1)*(3-x)

Gráfico de la función y = sqrt(2*x-1)*(3-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _________        
f(x) = \/ 2*x - 1 *(3 - x)
$$f{\left(x \right)} = \left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1}$$ 
f = (3 - x)*sqrt(2*x - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2*x - 1)*(3 - x).
$$\sqrt{-1 + 0 \cdot 2} \left(3 - 0\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3 i$$
Punto:
(0, 3*i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 - x}{\sqrt{2 x - 1}} - \sqrt{2 x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
          ____ 
      5*\/ 15  
(4/3, --------)
         9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x - 3}{2 x - 1} - 2}{\sqrt{2 x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*x - 1)*(3 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1}}{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1} = \sqrt{- 2 x - 1} \left(x + 3\right)$$
- No
$$\left(3 - x\right) \sqrt{2 x - 1} = - \sqrt{- 2 x - 1} \left(x + 3\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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