Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2^tan(x)

Gráfico de la función y = 2^tan(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        tan(x)
f(x) = 2
f(x)=2tan⁡(x)f{\left(x \right)} = 2^{\tan{\left(x \right)}} 
f = 2^tan(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002e23
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2tan⁡(x)=02^{\tan{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=48.7073540859457x_{1} = 48.7073540859457
x2=−7.82965430390267x_{2} = -7.82965430390267
x3=−73.8047295165375x_{3} = -73.8047295165375
x4=83.2691115938597x_{4} = 83.2691115938597
x5=67.5662499485623x_{5} = 67.5662499485623
x6=70.7004367421289x_{6} = 70.7004367421289
x7=−64.3787757341179x_{7} = -64.3787757341179
x8=−42.3893852017131x_{8} = -42.3893852017131
x9=83.2640549367022x_{9} = 83.2640549367022
x10=4.72228142980768x_{10} = 4.72228142980768
x11=17.2980613697606x_{11} = 17.2980613697606
x12=7.86469680032286x_{12} = 7.86469680032286
x13=−58.1010405018434x_{13} = -58.1010405018434
x14=45.5731417149897x_{14} = 45.5731417149897
x15=1.58997886028416x_{15} = 1.58997886028416
x16=−80.0901298645685x_{16} = -80.0901298645685
x17=−4.69243797423823x_{17} = -4.69243797423823
x18=36.1533738947306x_{18} = 36.1533738947306
x19=29.8485778266712x_{19} = 29.8485778266712
x20=14.1618862718162x_{20} = 14.1618862718162
x21=26.7139332766024x_{21} = 26.7139332766024
x22=−26.6829974580402x_{22} = -26.6829974580402
x23=−36.1125020457893x_{23} = -36.1125020457893
x24=−39.2692794059909x_{24} = -39.2692794059909
x25=−70.6642706380685x_{25} = -70.6642706380685
x26=−102.079648539334x_{26} = -102.079648539334
x27=−29.8212594818284x_{27} = -29.8212594818284
x28=−92.661722941571x_{28} = -92.661722941571
x29=−70.6647711245903x_{29} = -70.6647711245903
x30=−14.1246629166962x_{30} = -14.1246629166962
x31=−80.0855631478699x_{31} = -80.0855631478699
x32=61.281323599416x_{32} = 61.281323599416
x33=−51.8129444765024x_{33} = -51.8129444765024
x34=−17.2736065659628x_{34} = -17.2736065659628
x35=−95.7966420513885x_{35} = -95.7966420513885
x36=39.2884926073468x_{36} = 39.2884926073468
x37=−92.6549735195655x_{37} = -92.6549735195655
x38=61.2788463692566x_{38} = 61.2788463692566
x39=92.6932429752865x_{39} = 92.6932429752865
x40=89.5596629812267x_{40} = 89.5596629812267
x41=23.5809445076966x_{41} = 23.5809445076966
x42=−48.6736102850766x_{42} = -48.6736102850766
x43=−20.39995803275x_{43} = -20.39995803275
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^tan(x).
2tan⁡(0)2^{\tan{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2tan⁡(x)(tan⁡2(x)+1)log⁡(2)=02^{\tan{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2tan⁡(x)((tan⁡2(x)+1)log⁡(2)+2tan⁡(x))(tan⁡2(x)+1)log⁡(2)=02^{\tan{\left(x \right)}} \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(−1+1−log⁡(2)2log⁡(2))x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}
x2=−atan⁡(1−log⁡(2)2+1log⁡(2))x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}} + 1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(1−log⁡(2)2+1log⁡(2))]∪[atan⁡(−1+1−log⁡(2)2log⁡(2)),∞)\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}} + 1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(1−log⁡(2)2+1log⁡(2)),atan⁡(−1+1−log⁡(2)2log⁡(2))]\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}} + 1}{\log{\left(2 \right)}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{1 - \log{\left(2 \right)}^{2}}}{\log{\left(2 \right)}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞2tan⁡(x)y = \lim_{x \to -\infty} 2^{\tan{\left(x \right)}}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞2tan⁡(x)y = \lim_{x \to \infty} 2^{\tan{\left(x \right)}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^tan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(2tan⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(2tan⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2tan⁡(x)=2−tan⁡(x)2^{\tan{\left(x \right)}} = 2^{- \tan{\left(x \right)}}
- No
2tan⁡(x)=−2−tan⁡(x)2^{\tan{\left(x \right)}} = - 2^{- \tan{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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