Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/x-1/(x*log(x)^2)

Gráfico de la función y = 1/x-1/(x*log(x)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1       1    
f(x) = - - ---------
       x        2   
           x*log (x)
f(x)=−1xlog⁡(x)2+1xf{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} 
f = -1/(x*log(x)^2) + 1/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−1xlog⁡(x)2+1x=0- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=ex_{1} = e
x2=e−1x_{2} = e^{-1}
Solución numérica
x1=2.71828182845905x_{1} = 2.71828182845905
x2=0.367879441171442x_{2} = 0.367879441171442
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/x - 1/(x*log(x)^2).
10−10log⁡(0)2\frac{1}{0} - \frac{1}{0 \log{\left(0 \right)}^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−log⁡(x)2−2log⁡(x)x2log⁡(x)4−1x2=0- \frac{- \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e33(33+(78+9)23)378+93x_{1} = e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                     /                    2/3\                                       
        /                    2/3\                              3 ___ |3 ___   /      ____\   |            /                    2/3\  
  3 ___ |3 ___   /      ____\   |                             -\/ 3 *\\/ 3  + \9 + \/ 78 /   /      3 ___ |3 ___   /      ____\   |  
  \/ 3 *\\/ 3  + \9 + \/ 78 /   /                             ---------------------------------    -\/ 3 *\\/ 3  + \9 + \/ 78 /   /  
  -------------------------------                                          ____________            --------------------------------- 
              ____________                               2/3            3 /       ____                          ____________         
           3 /       ____              3 ___ /      ____\             3*\/  9 + \/ 78                        3 /       ____          
         3*\/  9 + \/ 78             3*\/ 3 *\9 + \/ 78 /   *e                                             3*\/  9 + \/ 78           
(e                              , - ---------------------------------------------------------- + e                                 )
                                                                              2                                                      
                                                     /                    2/3\                                                       
                                                     |3 ___   /      ____\   |                                                       
                                                     \\/ 3  + \9 + \/ 78 /   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e33(33+(78+9)23)378+93x_{1} = e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}
Decrece en los intervalos
(−∞,e33(33+(78+9)23)378+93]\left(-\infty, e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}\right]
Crece en los intervalos
[e33(33+(78+9)23)378+93,∞)\left[e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(log⁡(x)+1log⁡(x)4−log⁡(x)+2log⁡(x)3−2(log⁡(x)+2)log⁡(x)4+1)x3=0\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
x2=e19856+83543+13+856+83543x_{2} = e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→0−(2(log⁡(x)+1log⁡(x)4−log⁡(x)+2log⁡(x)3−2(log⁡(x)+2)log⁡(x)4+1)x3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(log⁡(x)+1log⁡(x)4−log⁡(x)+2log⁡(x)3−2(log⁡(x)+2)log⁡(x)4+1)x3)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(log⁡(x)+1log⁡(x)4−log⁡(x)+2log⁡(x)3−2(log⁡(x)+2)log⁡(x)4+1)x3)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(log⁡(x)+1log⁡(x)4−log⁡(x)+2log⁡(x)3−2(log⁡(x)+2)log⁡(x)4+1)x3)=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−1]∪[e19856+83543+13+856+83543,∞)\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[e−1,e19856+83543+13+856+83543]\left[e^{-1}, e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−1xlog⁡(x)2+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−1xlog⁡(x)2+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/x - 1/(x*log(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−1xlog⁡(x)2+1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−1xlog⁡(x)2+1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−1xlog⁡(x)2+1x=−1x+1xlog⁡(−x)2- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}
- No
−1xlog⁡(x)2+1x=1x−1xlog⁡(−x)2- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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