Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*sqrt(1-x^2)
-
(1/3)^x
-
(x^3+x)/(x^2+2*x+3)
-
6x^2-x^3
-
Expresiones idénticas
- uno /x- uno /(x*log(x)^ dos)
- 1 dividir por x menos 1 dividir por (x multiplicar por logaritmo de (x) al cuadrado )
- uno dividir por x menos uno dividir por (x multiplicar por logaritmo de (x) en el grado dos)
- 1/x-1/(x*log(x)2)
- 1/x-1/x*logx2
- 1/x-1/(x*log(x)²)
- 1/x-1/(x*log(x) en el grado 2)
- 1/x-1/(xlog(x)^2)
- 1/x-1/(xlog(x)2)
- 1/x-1/xlogx2
- 1/x-1/xlogx^2
- 1 dividir por x-1 dividir por (x*log(x)^2)
-
Expresiones semejantes
- 1/x+1/(x*log(x)^2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x^2-5*x+6)+3
- log(x^2-x)
- log(x^2/(x-1))
- log(x)^2/(2*x)
- log(x+4)/(x+4)
Gráfico de la función y = 1/x-1/(x*log(x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
1 1
f(x) = - - ---------
x 2
x*log (x)
$$f{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}$$
f = -1/(x*log(x)^2) + 1/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
$$x_{2} = 0.367879441171442$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
$$x_{2} = 0.367879441171442$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{- \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{- \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2/3\
/ 2/3\ 3 ___ |3 ___ / ____\ | / 2/3\
3 ___ |3 ___ / ____\ | -\/ 3 *\\/ 3 + \9 + \/ 78 / / 3 ___ |3 ___ / ____\ |
\/ 3 *\\/ 3 + \9 + \/ 78 / / --------------------------------- -\/ 3 *\\/ 3 + \9 + \/ 78 / /
------------------------------- ____________ ---------------------------------
____________ 2/3 3 / ____ ____________
3 / ____ 3 ___ / ____\ 3*\/ 9 + \/ 78 3 / ____
3*\/ 9 + \/ 78 3*\/ 3 *\9 + \/ 78 / *e 3*\/ 9 + \/ 78
(e , - ---------------------------------------------------------- + e )
2
/ 2/3\
|3 ___ / ____\ |
\\/ 3 + \9 + \/ 78 / / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{\sqrt[3]{3} \left(\sqrt[3]{3} + \left(\sqrt{78} + 9\right)^{\frac{2}{3}}\right)}{3 \sqrt[3]{\sqrt{78} + 9}}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{-1}, e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}^{4}} - \frac{\log{\left(x \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}^{3}} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}^{4}} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[e^{-1}, e^{\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{85}}{6} + \frac{83}{54}}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/x - 1/(x*log(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
$$- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
$$- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar