Sr Examen

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log(sin(sqrt(x)))
Trazado el gráfico de la función/ log(sin(sqrt(x)))

Gráfico de la función y = log(sin(sqrt(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /   /  ___\\
f(x) = log\sin\\/ x //
f(x)=log⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} 
f = log(sin(sqrt(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(sin⁡(x))=0\log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Solución numérica
x1=61.6850304363542x_{1} = 61.6850304363542
x2=61.6850335304749x_{2} = 61.6850335304749
x3=61.6850258206478x_{3} = 61.6850258206478
x4=2.4674034781216x_{4} = 2.4674034781216
x5=2.46740171991312x_{5} = 2.46740171991312
x6=61.6850162920019x_{6} = 61.6850162920019
x7=61.6850348021458x_{7} = 61.6850348021458
x8=61.6850277051713x_{8} = 61.6850277051713
x9=61.6850060968918x_{9} = 61.6850060968918
x10=2.46740096706287x_{10} = 2.46740096706287
x11=61.685031390065x_{11} = 61.685031390065
x12=2.46740232280676x_{12} = 2.46740232280676
x13=2.46740362584846x_{13} = 2.46740362584846
x14=2.46740261576072x_{14} = 2.46740261576072
x15=61.6850267982128x_{15} = 61.6850267982128
x16=2.46740456633148x_{16} = 2.46740456633148
x17=61.6850504825875x_{17} = 61.6850504825875
x18=2.4674028831393x_{18} = 2.4674028831393
x19=61.6850441609333x_{19} = 61.6850441609333
x20=61.6850126112041x_{20} = 61.6850126112041
x21=61.6850324096614x_{21} = 61.6850324096614
x22=61.6850247702725x_{22} = 61.6850247702725
x23=61.6850188178568x_{23} = 61.6850188178568
x24=61.6850207366467x_{24} = 61.6850207366467
x25=61.6850236105226x_{25} = 61.6850236105226
x26=2.46740241563568x_{26} = 2.46740241563568
x27=61.6850381514552x_{27} = 61.6850381514552
x28=61.6850405936638x_{28} = 61.6850405936638
x29=61.6850363003209x_{29} = 61.6850363003209
x30=61.6850286216135x_{30} = 61.6850286216135
x31=61.6850222914264x_{31} = 61.6850222914264
x32=61.685029521269x_{32} = 61.685029521269
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sin(sqrt(x))).
log⁡(sin⁡(0))\log{\left(\sin{\left(\sqrt{0} \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)2xsin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
x2=9π24x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
   2    
 pi     
(---, 0)
  4     

     2       
 9*pi        
(-----, pi*I)
   4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π24x_{2} = \frac{\pi^{2}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π24]\left(-\infty, \frac{\pi^{2}}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π24,∞)\left[\frac{\pi^{2}}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(sin⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(sin⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sin(sqrt(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(log⁡(sin⁡(x))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x}\right)
lim⁡x→∞(log⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(sin⁡(x))=log⁡(sin⁡(−x))\log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = \log{\left(\sin{\left(\sqrt{- x} \right)} \right)}
- No
log⁡(sin⁡(x))=−log⁡(sin⁡(−x))\log{\left(\sin{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = - \log{\left(\sin{\left(\sqrt{- x} \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(sin(sqrt(x)))
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