Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^4/(1+x)^3 x^4/(1+x)^3
  • (x^2+3)/(x-1) (x^2+3)/(x-1)
  • 2*x+1 2*x+1
  • x^2-x x^2-x

  • Expresiones idénticas

  • x^ dos *sqrt(cuatro -x^ dos)
  • x al cuadrado multiplicar por raíz cuadrada de (4 menos x al cuadrado )
  • x en el grado dos multiplicar por raíz cuadrada de (cuatro menos x en el grado dos)
  • x^2*√(4-x^2)
  • x2*sqrt(4-x2)
  • x2*sqrt4-x2
  • x²*sqrt(4-x²)
  • x en el grado 2*sqrt(4-x en el grado 2)
  • x^2sqrt(4-x^2)
  • x2sqrt(4-x2)
  • x2sqrt4-x2
  • x^2sqrt4-x^2

  • Expresiones semejantes

  • x^2*sqrt(4+x^2)

  • Expresiones con funciones

  • Raíz cuadrada sqrt
  • sqrt(x^2+4)
  • sqrt(2*x+1)
  • sqrt(sin(x))
  • sqrt(x-7)+sqrt(10-x)
  • sqrt(t)
Trazado el gráfico de la función/ x^2*sqrt(4-x^2)

Gráfico de la función y = x^2*sqrt(4-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             ________
        2   /      2 
f(x) = x *\/  4 - x
f(x)=x24−x2f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} 
f = x^2*sqrt(4 - x^2)
Gráfico de la función
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.805
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x24−x2=0x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=2x_{3} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=−2x_{2} = -2
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*sqrt(4 - x^2).
024−020^{2} \sqrt{4 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x34−x2+2x4−x2=0- \frac{x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{4 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−263x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}
x3=263x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      ___       ___ 
 -2*\/ 6   16*\/ 3  
(--------, --------)
    3         9     

     ___       ___ 
 2*\/ 6   16*\/ 3  
(-------, --------)
    3        9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−263x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}
x1=263x_{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−263]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[263,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2(x2x2−4−1)4−x2−4x24−x2+24−x2=0\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 \sqrt{4 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3−333x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}
x2=3−333x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}
x3=−333+3x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}
x4=333+3x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3−333,3−333]\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−3−333]∪[3−333,∞)\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x24−x2)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x24−x2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*sqrt(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x4−x2)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x4−x2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x24−x2=x24−x2x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}
- Sí
x24−x2=−x24−x2x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = - x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
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