Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *sqrt(cuatro -x^ dos)
- x al cuadrado multiplicar por raíz cuadrada de (4 menos x al cuadrado )
- x en el grado dos multiplicar por raíz cuadrada de (cuatro menos x en el grado dos)
- x^2*√(4-x^2)
- x2*sqrt(4-x2)
- x2*sqrt4-x2
- x²*sqrt(4-x²)
- x en el grado 2*sqrt(4-x en el grado 2)
- x^2sqrt(4-x^2)
- x2sqrt(4-x2)
- x2sqrt4-x2
- x^2sqrt4-x^2
-
Expresiones semejantes
- x^2*sqrt(4+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-x)
- sqrt(x)-x^2
- sqrt(2*x-3)
- sqrt(x+5)
- sqrt(sin(x))
Gráfico de la función y = x^2*sqrt(4-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
________
2 / 2
f(x) = x *\/ 4 - x
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
f = x^2*sqrt(4 - x^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
___ ___
-2*\/ 6 16*\/ 3
(--------, --------)
3 9 ___ ___
2*\/ 6 16*\/ 3
(-------, --------)
3 9 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} + 2 \sqrt{4 - x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{3 - \frac{\sqrt{33}}{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*sqrt(4 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{4 - x^{2}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
- Sí
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = - x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
- Sí
$$x^{2} \sqrt{4 - x^{2}} = - x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par