Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 5*cos(x)^3

Gráfico de la función y = 5*cos(x)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3   
f(x) = 5*cos (x)
f(x)=5cos⁡3(x)f{\left(x \right)} = 5 \cos^{3}{\left(x \right)} 
f = 5*cos(x)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5cos⁡3(x)=05 \cos^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=36.128317789764x_{1} = 36.128317789764
x2=23.5619763533234x_{2} = 23.5619763533234
x3=−89.5354410428862x_{3} = -89.5354410428862
x4=58.1194603256925x_{4} = 58.1194603256925
x5=−7.85396939058216x_{5} = -7.85396939058216
x6=14.1371748405436x_{6} = 14.1371748405436
x7=51.8363261592826x_{7} = 51.8363261592826
x8=−58.1194276545353x_{8} = -58.1194276545353
x9=86.3937628262857x_{9} = 86.3937628262857
x10=−45.5531401844306x_{10} = -45.5531401844306
x11=−42.4114638604687x_{11} = -42.4114638604687
x12=−67.5442906223714x_{12} = -67.5442906223714
x13=−95.8185603030962x_{13} = -95.8185603030962
x14=48.6946439323886x_{14} = 48.6946439323886
x15=−51.8362625267018x_{15} = -51.8362625267018
x16=−1.57083925518957x_{16} = -1.57083925518957
x17=−29.8451152214988x_{17} = -29.8451152214988
x18=95.818627417042x_{18} = 95.818627417042
x19=−14.1371260033657x_{19} = -14.1371260033657
x20=20.4203112367381x_{20} = 20.4203112367381
x21=−80.1105785507599x_{21} = -80.1105785507599
x22=73.8274768053124x_{22} = 73.8274768053124
x23=92.6770059000324x_{23} = 92.6770059000324
x24=70.6858302611407x_{24} = 70.6858302611407
x25=7.85402475701276x_{25} = 7.85402475701276
x26=80.1106035284868x_{26} = 80.1106035284868
x27=1.57080273224359x_{27} = 1.57080273224359
x28=−23.5619897288019x_{28} = -23.5619897288019
x29=64.4026122770508x_{29} = 64.4026122770508
x30=−73.827410994311x_{30} = -73.827410994311
x31=29.8451754771722x_{31} = 29.8451754771722
x32=−20.4203505482106x_{32} = -20.4203505482106
x33=−36.1282768063468x_{33} = -36.1282768063468
x34=45.5531567451367x_{34} = 45.5531567451367
x35=42.4114617473496x_{35} = 42.4114617473496
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*cos(x)^3.
5cos⁡3(0)5 \cos^{3}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−15sin⁡(x)cos⁡2(x)=0- 15 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 5)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x3=0x_{3} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
15(2sin⁡2(x)−cos⁡2(x))cos⁡(x)=015 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−2atan⁡(5−26)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x4=2atan⁡(5−26)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x5=−2atan⁡(26+5)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
x6=2atan⁡(26+5)x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(26+5),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5cos⁡3(x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(5 \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(5cos⁡3(x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(5 \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*cos(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5cos⁡3(x)=5cos⁡3(x)5 \cos^{3}{\left(x \right)} = 5 \cos^{3}{\left(x \right)}
- Sí
5cos⁡3(x)=−5cos⁡3(x)5 \cos^{3}{\left(x \right)} = - 5 \cos^{3}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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