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Trazado el gráfico de la función/ (log(x)/log(1/3))*(log(3*x-2)/log(1/3))

Gráfico de la función y = (log(x)/log(1/3))*(log(3*x-2)/log(1/3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        log(x)  log(3*x - 2)
f(x) = --------*------------
       log(1/3)   log(1/3)
f(x)=log⁡(x)log⁡(13)log⁡(3x−2)log⁡(13)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} 
f = (log(x)/log(1/3))*(log(3*x - 2)/log(1/3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)log⁡(13)log⁡(3x−2)log⁡(13)=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=0.999999469226512x_{1} = 0.999999469226512
x2=1.00000013712675x_{2} = 1.00000013712675
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (log(x)/log(1/3))*(log(3*x - 2)/log(1/3)).
log⁡(0)log⁡(13)log⁡(−2+0⋅3)log⁡(13)\frac{\log{\left(0 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} \frac{\log{\left(-2 + 0 \cdot 3 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3log⁡(x)(3x−2)log⁡(13)2+log⁡(3x−2)xlog⁡(13)2=0\frac{3 \log{\left(x \right)}}{\left(3 x - 2\right) \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2}} + \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{x \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−9log⁡(x)(3x−2)2+6x(3x−2)−log⁡(3x−2)x2log⁡(13)2=0\frac{- \frac{9 \log{\left(x \right)}}{\left(3 x - 2\right)^{2}} + \frac{6}{x \left(3 x - 2\right)} - \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{x^{2}}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.0298065224708x_{1} = 2.0298065224708

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2.0298065224708]\left(-\infty, 2.0298065224708\right]
Convexa en los intervalos
[2.0298065224708,∞)\left[2.0298065224708, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)log⁡(13)log⁡(3x−2)log⁡(13))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(x)log⁡(13)log⁡(3x−2)log⁡(13))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x)/log(1/3))*(log(3*x - 2)/log(1/3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)log⁡(3x−2)xlog⁡(13)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \log{\left(3 x - 2 \right)}}{x \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)log⁡(3x−2)xlog⁡(13)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \log{\left(3 x - 2 \right)}}{x \log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)log⁡(13)log⁡(3x−2)log⁡(13)=log⁡(−x)log⁡(−3x−2)log⁡(13)2\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} = \frac{\log{\left(- x \right)} \log{\left(- 3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2}}
- No
log⁡(x)log⁡(13)log⁡(3x−2)log⁡(13)=−log⁡(−x)log⁡(−3x−2)log⁡(13)2\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} \frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}} = - \frac{\log{\left(- x \right)} \log{\left(- 3 x - 2 \right)}}{\log{\left(\frac{1}{3} \right)}^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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