Sr Examen

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(sin(x))^cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ (sin(x))^cos(x)

Gráfico de la función y = (sin(x))^cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          cos(x)   
f(x) = sin      (x)
f(x)=sin⁡cos⁡(x)(x)f{\left(x \right)} = \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡cos⁡(x)(x)=0\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−12.5663706143592x_{1} = -12.5663706143592
x2=56.5486677646163x_{2} = 56.5486677646163
x3=−94.2477796076938x_{3} = -94.2477796076938
x4=−56.5486677646163x_{4} = -56.5486677646163
x5=−18.8495559215388x_{5} = -18.8495559215388
x6=−81.6814089933346x_{6} = -81.6814089933346
x7=−87.9645943005142x_{7} = -87.9645943005142
x8=94.2477796076938x_{8} = 94.2477796076938
x9=25.1327412287183x_{9} = 25.1327412287183
x10=0x_{10} = 0
x11=81.6814089933346x_{11} = 81.6814089933346
x12=62.8318530717959x_{12} = 62.8318530717959
x13=100.530964914873x_{13} = 100.530964914873
x14=−31.4159265358979x_{14} = -31.4159265358979
x15=87.9645943005142x_{15} = 87.9645943005142
x16=75.398223686155x_{16} = 75.398223686155
x17=−75.398223686155x_{17} = -75.398223686155
x18=−6.28318530717959x_{18} = -6.28318530717959
x19=−62.8318530717959x_{19} = -62.8318530717959
x20=−69.1150383789755x_{20} = -69.1150383789755
x21=31.4159265358979x_{21} = 31.4159265358979
x22=−43.9822971502571x_{22} = -43.9822971502571
x23=−37.6991118430775x_{23} = -37.6991118430775
x24=18.8495559215388x_{24} = 18.8495559215388
x25=873.362757697962x_{25} = 873.362757697962
x26=−1105.84061406361x_{26} = -1105.84061406361
x27=−50.2654824574367x_{27} = -50.2654824574367
x28=−100.530964914873x_{28} = -100.530964914873
x29=69.1150383789755x_{29} = 69.1150383789755
x30=12.5663706143592x_{30} = 12.5663706143592
x31=37.6991118430775x_{31} = 37.6991118430775
x32=6.28318530717959x_{32} = 6.28318530717959
x33=50.2654824574367x_{33} = 50.2654824574367
x34=43.9822971502571x_{34} = 43.9822971502571
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^cos(x).
sin⁡cos⁡(0)(0)\sin^{\cos{\left(0 \right)}}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−log⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x))sin⁡cos⁡(x)(x)=0\left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−80.110612576689x_{1} = -80.110612576689
x2=−67.544242169264x_{2} = -67.544242169264
x3=−10.9955744178413x_{3} = -10.9955744178413
x4=−61.261056961249x_{4} = -61.261056961249
x5=−23.5619450104848x_{5} = -23.5619450104848
x6=−48.694685530021x_{6} = -48.694685530021
x7=7.85398174588097x_{7} = 7.85398174588097
x8=14.1371671180334x_{8} = 14.1371671180334
x9=89.5353909540946x_{9} = 89.5353909540946
x10=26.7035373464279x_{10} = 26.7035373464279
x11=20.4203521485073x_{11} = 20.4203521485073
x12=83.2522060174281x_{12} = 83.2522060174281
x13=32.9867227103683x_{13} = 32.9867227103683
x14=39.269908832875x_{14} = 39.269908832875
x15=89.5353901842161x_{15} = 89.5353901842161
x16=58.1194644913035x_{16} = 58.1194644913035
x17=95.818576067731x_{17} = 95.818576067731
x18=70.6858345010191x_{18} = 70.6858345010191
x19=−98.9601686560198x_{19} = -98.9601686560198
x20=76.9690198429979x_{20} = 76.9690198429979
x21=64.4026493077168x_{21} = 64.4026493077168
x22=−73.8274272796273x_{22} = -73.8274272796273
x23=−86.3937977035373x_{23} = -86.3937977035373
x24=45.5530927881641x_{24} = 45.5530927881641
x25=−42.4115005398944x_{25} = -42.4115005398944
x26=−4.71238834954501x_{26} = -4.71238834954501
x27=45.5530937888778x_{27} = 45.5530937888778
x28=−17.2787598076759x_{28} = -17.2787598076759
x29=−29.845130094584x_{29} = -29.845130094584
x30=−36.1283154152694x_{30} = -36.1283154152694
x31=−92.6769827087217x_{31} = -92.6769827087217
x32=51.8362789068561x_{32} = 51.8362789068561
x33=−54.9778715404864x_{33} = -54.9778715404864
x34=1.57079662422981x_{34} = 1.57079662422981
Signos de extremos en los puntos:
(-80.11061257668896, 1)

(-67.54424216926397, 1)

(-10.995574417841343, 1)

(-61.26105696124897, 1)

(-23.561945010484763, 1)

(-48.694685530021, 1)

(7.853981745880966, 1)

(14.137167118033418, 1)

(89.5353909540946, 1)

(26.703537346427865, 1)

(20.420352148507256, 1)

(83.25220601742807, 1)

(32.98672271036834, 1)

(39.269908832875, 1)

(89.53539018421606, 1)

(58.119464491303454, 1)

(95.81857606773102, 1)

(70.68583450101914, 1)

(-98.96016865601983, 1)

(76.96901984299792, 1)

(64.40264930771681, 1)

(-73.82742727962729, 1)

(-86.3937977035373, 1)

(45.55309278816412, 1)

(-42.411500539894384, 1)

(-4.7123883495450105, 1)

(45.553093788877845, 1)

(-17.278759807675886, 1)

(-29.845130094584036, 1)

(-36.12831541526945, 1)

(-92.67698270872174, 1)

(51.83627890685612, 1)

(-54.97787154048637, 1)

(1.5707966242298101, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡cos⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡cos⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡cos⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡cos⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡cos⁡(x)(x)=(−sin⁡(x))cos⁡(x)\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{\cos{\left(x \right)}}
- No
sin⁡cos⁡(x)(x)=−(−sin⁡(x))cos⁡(x)\sin^{\cos{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = - \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{\cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (sin(x))^cos(x)
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