Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ log(2)log(2-x)(2-x)^x

Gráfico de la función y = log(2)log(2-x)(2-x)^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                x
f(x) = log(2)*log(2 - x)*(2 - x)
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)} \left(2 - x\right)^{x}$$ 
f = (log(2)*log(2 - x))*(2 - x)^x
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)} \left(2 - x\right)^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -69.9040727982101$$
$$x_{2} = -97.6552753862024$$
$$x_{3} = -81.7828433425983$$
$$x_{4} = -85.747863657578$$
$$x_{5} = -11.0559838372697$$
$$x_{6} = -93.6842971951686$$
$$x_{7} = -62.0026798236519$$
$$x_{8} = -79.801246048196$$
$$x_{9} = -48.2286813622776$$
$$x_{10} = -23.1191793415234$$
$$x_{11} = -91.6994615693584$$
$$x_{12} = -99.6413748479$$
$$x_{13} = -101.627854964164$$
$$x_{14} = -36.5169253429565$$
$$x_{15} = -71.8819014454263$$
$$x_{16} = -89.7150931033596$$
$$x_{17} = -42.3575428192414$$
$$x_{18} = -34.579171077826$$
$$x_{19} = -103.614697706845$$
$$x_{20} = -50.1908610855326$$
$$x_{21} = -14.1314999369497$$
$$x_{22} = -73.8605870595049$$
$$x_{23} = -83.7650611777943$$
$$x_{24} = -65.9512423347094$$
$$x_{25} = -12.5171019953334$$
$$x_{26} = -87.7312177719087$$
$$x_{27} = -28.8046838153312$$
$$x_{28} = -19.4150936285283$$
$$x_{29} = -15.8381876584563$$
$$x_{30} = -95.6695759133622$$
$$x_{31} = -56.0894744985416$$
$$x_{32} = -17.6055027996123$$
$$x_{33} = -67.9271634392023$$
$$x_{34} = -58.059110397346$$
$$x_{35} = -21.2555046656776$$
$$x_{36} = -75.8400731587734$$
$$x_{37} = -32.6471818436671$$
$$x_{38} = -63.9763860416766$$
$$x_{39} = -40.4067024055303$$
$$x_{40} = -26.8969898006138$$
$$x_{41} = -46.2688792143695$$
$$x_{42} = -25.0009123256195$$
$$x_{43} = -38.4596516547561$$
$$x_{44} = -52.1551840912644$$
$$x_{45} = -44.3117268745285$$
$$x_{46} = -60.0302189745204$$
$$x_{47} = -77.8203084123382$$
$$x_{48} = -54.1214474745988$$
$$x_{49} = -30.7219407572629$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (log(2)*log(2 - x))*(2 - x)^x.
$$\log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - 0 \right)} \left(2 - 0\right)^{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Punto:
(0, log(2)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 - x\right)^{x} \left(- \frac{x}{2 - x} + \log{\left(2 - x \right)}\right) \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)} - \frac{\left(2 - x\right)^{x} \log{\left(2 \right)}}{2 - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -85.7494234057424$$
$$x_{2} = -58.0620620163045$$
$$x_{3} = -23.135064085223$$
$$x_{4} = -103.615853087298$$
$$x_{5} = -0.0151512050529408$$
$$x_{6} = -60.0330103907321$$
$$x_{7} = -65.9536307114313$$
$$x_{8} = -67.9294386091676$$
$$x_{9} = -56.092602232825$$
$$x_{10} = -69.9062434542869$$
$$x_{11} = -79.8029966641312$$
$$x_{12} = -38.4656685275568$$
$$x_{13} = -21.2744419848544$$
$$x_{14} = -17.634316438267$$
$$x_{15} = -14.1819390643894$$
$$x_{16} = -99.6426035859777$$
$$x_{17} = -25.0144657776038$$
$$x_{18} = -34.5864665746434$$
$$x_{19} = -30.7310289506005$$
$$x_{20} = -75.841973969979$$
$$x_{21} = -101.629046071212$$
$$x_{22} = -97.6565438048725$$
$$x_{23} = -36.5235310881045$$
$$x_{24} = -87.7327215399839$$
$$x_{25} = -15.8754455820524$$
$$x_{26} = -77.8221315349043$$
$$x_{27} = -89.7165441896893$$
$$x_{28} = -19.4381477900808$$
$$x_{29} = -73.862571272917$$
$$x_{30} = -91.7008630069666$$
$$x_{31} = -54.1247695205809$$
$$x_{32} = -48.232725553682$$
$$x_{33} = -32.6552934250717$$
$$x_{34} = -63.9788973586082$$
$$x_{35} = -95.6708862218105$$
$$x_{36} = -44.3164106924221$$
$$x_{37} = -52.1587213646046$$
$$x_{38} = -46.2732238251541$$
$$x_{39} = -42.3626119238742$$
$$x_{40} = -62.0053250195045$$
$$x_{41} = -71.8839753780007$$
$$x_{42} = -40.412212007351$$
$$x_{43} = -12.5900575066031$$
$$x_{44} = -50.1946377617752$$
$$x_{45} = -26.9087189574725$$
$$x_{46} = -83.7666805001943$$
$$x_{47} = -81.7845261640393$$
$$x_{48} = -28.8149559927595$$
$$x_{49} = -93.6856517784999$$
Signos de extremos en los puntos:
(-85.74942340574238, 1.04392013153161e-166*log(2))

(-58.062062016304544, 2.20341707133417e-103*log(2))

(-23.135064085223007, 1.29677046056195e-32*log(2))

(-103.61585308729765, 9.50494882170421e-210*log(2))

(-0.015151205052940776, 0.693294755952549*log(2))

(-60.03301039073214, 9.98063074377722e-108*log(2))

(-65.9536307114313, 6.08294696811997e-121*log(2))

(-67.9294386091676, 2.09609502834855e-125*log(2))

(-56.092602232824966, 4.51456547604159e-99*log(2))

(-69.90624345428692, 6.78258070206504e-130*log(2))

(-79.80299666413121, 9.98074845885724e-153*log(2))

(-38.46566852755679, 5.63105728885574e-62*log(2))

(-21.27444198485439, 2.62030569849217e-29*log(2))

(-17.634316438266957, 4.70294591949102e-23*log(2))

(-14.181939064389356, 1.98726241289013e-17*log(2))

(-99.64260358597772, 4.72631914411261e-200*log(2))

(-25.014465777603764, 5.09820783795315e-36*log(2))

(-34.58646657464338, 3.06572061402714e-54*log(2))

(-30.731028950600496, 9.69053245605285e-47*log(2))

(-75.841973969979, 1.60533420968439e-143*log(2))

(-101.62904607121233, 6.84119934871485e-205*log(2))

(-97.65654380487254, 3.13148131124773e-195*log(2))

(-36.523531088104484, 4.42718621404162e-58*log(2))

(-87.73272153998387, 2.06640187236532e-171*log(2))

(-15.875445582052393, 3.79990920394035e-20*log(2))

(-77.82213153490427, 4.11304149710332e-148*log(2))

(-89.71654418968933, 3.89932605218455e-176*log(2))

(-19.438147790080837, 4.07981184938438e-26*log(2))

(-73.86257127291704, 5.92530033156056e-139*log(2))

(-91.70086300696663, 7.02226502770943e-181*log(2))

(-54.12476952058092, 8.55964770359e-95*log(2))

(-48.232725553681966, 3.54560109684878e-82*log(2))

(-32.65529342507171, 1.85371929615524e-50*log(2))

(-63.978897358608194, 1.65430630427161e-116*log(2))

(-95.67088622181049, 1.98803627006875e-190*log(2))

(-44.31641069242214, 5.81339466344838e-74*log(2))

(-52.158721364604595, 1.49711298374498e-90*log(2))

(-46.27322382515414, 4.76390839068697e-78*log(2))

(-42.36261192387418, 6.41161178684157e-70*log(2))

(-62.00532501950452, 4.20696222807405e-112*log(2))

(-71.88397537800067, 2.06490442513619e-134*log(2))

(-40.412212007351044, 6.35661658711601e-66*log(2))

(-12.590057506603054, 5.92441291136917e-15*log(2))

(-50.19463776177521, 2.4073265970624e-86*log(2))

(-26.90871895747249, 1.63102209966622e-39*log(2))

(-83.7666805001943, 5.02154683974981e-162*log(2))

(-81.78452616403935, 2.29715545672821e-157*log(2))

(-28.81495599275953, 4.32954475058933e-43*log(2))

(-93.68565177849987, 1.20820665742027e-185*log(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{49} = -0.0151512050529408$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.0151512050529408\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-0.0151512050529408, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(2 - x\right)^{x} \left(\left(\left(\frac{x}{x - 2} + \log{\left(2 - x \right)}\right)^{2} - \frac{\frac{x}{x - 2} - 2}{x - 2}\right) \log{\left(2 - x \right)} + \frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} + \log{\left(2 - x \right)}\right)}{x - 2} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \log{\left(2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -30.7402588264964$$
$$x_{2} = -40.4177794706069$$
$$x_{3} = -87.7342308861535$$
$$x_{4} = -101.630240835352$$
$$x_{5} = -62.0079856866381$$
$$x_{6} = -34.5938577353016$$
$$x_{7} = -0.764247829863514$$
$$x_{8} = -95.6722008773193$$
$$x_{9} = -15.9144617448914$$
$$x_{10} = -44.3211377507133$$
$$x_{11} = -14.2354223810216$$
$$x_{12} = -38.4717531547755$$
$$x_{13} = -73.8645646949733$$
$$x_{14} = -67.9317255684465$$
$$x_{15} = -91.7022693545524$$
$$x_{16} = -23.1513323586521$$
$$x_{17} = -36.5302169196001$$
$$x_{18} = -71.886059284911$$
$$x_{19} = -48.2368029625202$$
$$x_{20} = -83.7683062002556$$
$$x_{21} = -50.1984438106964$$
$$x_{22} = -81.7862158226263$$
$$x_{23} = -42.3677308587429$$
$$x_{24} = -26.9206714948326$$
$$x_{25} = -46.277606216649$$
$$x_{26} = -99.6438361932361$$
$$x_{27} = -21.2939038574642$$
$$x_{28} = -58.065032484892$$
$$x_{29} = 1.76717080414513$$
$$x_{30} = -75.8438833024251$$
$$x_{31} = -65.956031956999$$
$$x_{32} = -19.4619467515249$$
$$x_{33} = -28.8254044793912$$
$$x_{34} = -69.9084249403223$$
$$x_{35} = -97.6578163221031$$
$$x_{36} = -12.6690618097566$$
$$x_{37} = -25.0283082818292$$
$$x_{38} = -56.095750890334$$
$$x_{39} = -52.1622847473615$$
$$x_{40} = -103.617011928422$$
$$x_{41} = -54.1281148874865$$
$$x_{42} = -32.6635206434062$$
$$x_{43} = -63.9814227637955$$
$$x_{44} = -79.8047546233533$$
$$x_{45} = -17.6642390765867$$
$$x_{46} = -77.8239625597264$$
$$x_{47} = -85.7509891134189$$
$$x_{48} = -93.6870109785817$$
$$x_{49} = -89.7180005054298$$
$$x_{50} = -60.0358188536432$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.764247829863514\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1.76717080414513, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)} \left(2 - x\right)^{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)} \left(2 - x\right)^{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(2)*log(2 - x))*(2 - x)^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - x\right)^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right)^{x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)} \left(2 - x\right)^{x} = \left(x + 2\right)^{- x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}$$
- No
$$\log{\left(2 \right)} \log{\left(2 - x \right)} \left(2 - x\right)^{x} = - \left(x + 2\right)^{- x} \log{\left(2 \right)} \log{\left(x + 2 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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