Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$x \left(x - 2\right) + \left(x + 3\right) \left(2 x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{19}}{3} - \frac{1}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
____ / ____\ / ____\ / ____\
1 \/ 19 | 7 \/ 19 | | 1 \/ 19 | |8 \/ 19 |
(- - + ------, |- - + ------|*|- - + ------|*|- + ------|)
3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / \3 3 /
____ / ____\ / ____\ / ____\
1 \/ 19 | 7 \/ 19 | | 1 \/ 19 | |8 \/ 19 |
(- - - ------, |- - - ------|*|- - - ------|*|- - ------|)
3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / \3 3 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{19}}{3} - \frac{1}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{19}}{3} - \frac{1}{3}\right] \cup \left[- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{19}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}\right]$$