Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- cos(x)- cero .5cos(2x)
- coseno de (x) menos 0.5 coseno de (2x)
- coseno de (x) menos cero .5 coseno de (2x)
- cosx-0.5cos2x
-
Expresiones semejantes
- cos(x)+0.5cos(2x)
- cosx-0.5cos(2x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- cos(pi-a)-cos(-a)
- cos(x^2)-10*x
Gráfico de la función y = cos(x)-0.5cos(2x)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(2*x)
f(x) = cos(x) - --------
2
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
f = cos(x) - cos(2*x)/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
$$x_{2} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 + \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
Solución numérica
$$x_{1} = 71.0605691384791$$
$$x_{2} = -33.3614572954016$$
$$x_{3} = 4.33765454767595$$
$$x_{4} = -29.4703957763943$$
$$x_{5} = 14.5119013738628$$
$$x_{6} = -23.1872104692147$$
$$x_{7} = -77.3437544456587$$
$$x_{8} = -45.9278279097607$$
$$x_{9} = 60.8863223122922$$
$$x_{10} = 52.2110132169403$$
$$x_{11} = 20.7950866810424$$
$$x_{12} = 10.6208398548555$$
$$x_{13} = -89.9101250600178$$
$$x_{14} = 16.9040251620351$$
$$x_{15} = -48.3199516979331$$
$$x_{16} = -73.4526929266514$$
$$x_{17} = -58.4941985241199$$
$$x_{18} = -35.7535810835739$$
$$x_{19} = -14.5119013738628$$
$$x_{20} = -4.33765454767595$$
$$x_{21} = -20.7950866810424$$
$$x_{22} = -98.5854341553698$$
$$x_{23} = -54.6031370051126$$
$$x_{24} = -42.0367663907535$$
$$x_{25} = 1.94553075950364$$
$$x_{26} = 29.4703957763943$$
$$x_{27} = -52.2110132169403$$
$$x_{28} = 39.6446426025812$$
$$x_{29} = -96.1933103671974$$
$$x_{30} = -79.735878233831$$
$$x_{31} = 79.735878233831$$
$$x_{32} = 86.0190635410106$$
$$x_{33} = -130.001360691268$$
$$x_{34} = -1.94553075950364$$
$$x_{35} = 92.3022488481902$$
$$x_{36} = 77.3437544456587$$
$$x_{37} = 48.3199516979331$$
$$x_{38} = -39.6446426025812$$
$$x_{39} = -8.22871606668322$$
$$x_{40} = 98.5854341553698$$
$$x_{41} = 4324.77702209906$$
$$x_{42} = 54.6031370051126$$
$$x_{43} = 58.4941985241199$$
$$x_{44} = 35.7535810835739$$
$$x_{45} = -67.1695076194718$$
$$x_{46} = 96.1933103671974$$
$$x_{47} = -92.3022488481902$$
$$x_{48} = 33.3614572954016$$
$$x_{49} = 89.9101250600178$$
$$x_{50} = -83.6269397528383$$
$$x_{51} = 83.6269397528383$$
$$x_{52} = 8.22871606668322$$
$$x_{53} = -60.8863223122922$$
$$x_{54} = -10.6208398548555$$
$$x_{55} = 45.9278279097607$$
$$x_{56} = 73.4526929266514$$
$$x_{57} = -27.078271988222$$
$$x_{58} = -71.0605691384791$$
$$x_{59} = 64.7773838312995$$
$$x_{60} = 42.0367663907535$$
$$x_{61} = -86.0190635410106$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 - \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
$$x_{2} = i \left(\log{\left(2 \right)} - \log{\left(- \sqrt{3} + 1 + \sqrt{2} \sqrt[4]{3} i \right)}\right)$$
Solución numérica
$$x_{1} = 71.0605691384791$$
$$x_{2} = -33.3614572954016$$
$$x_{3} = 4.33765454767595$$
$$x_{4} = -29.4703957763943$$
$$x_{5} = 14.5119013738628$$
$$x_{6} = -23.1872104692147$$
$$x_{7} = -77.3437544456587$$
$$x_{8} = -45.9278279097607$$
$$x_{9} = 60.8863223122922$$
$$x_{10} = 52.2110132169403$$
$$x_{11} = 20.7950866810424$$
$$x_{12} = 10.6208398548555$$
$$x_{13} = -89.9101250600178$$
$$x_{14} = 16.9040251620351$$
$$x_{15} = -48.3199516979331$$
$$x_{16} = -73.4526929266514$$
$$x_{17} = -58.4941985241199$$
$$x_{18} = -35.7535810835739$$
$$x_{19} = -14.5119013738628$$
$$x_{20} = -4.33765454767595$$
$$x_{21} = -20.7950866810424$$
$$x_{22} = -98.5854341553698$$
$$x_{23} = -54.6031370051126$$
$$x_{24} = -42.0367663907535$$
$$x_{25} = 1.94553075950364$$
$$x_{26} = 29.4703957763943$$
$$x_{27} = -52.2110132169403$$
$$x_{28} = 39.6446426025812$$
$$x_{29} = -96.1933103671974$$
$$x_{30} = -79.735878233831$$
$$x_{31} = 79.735878233831$$
$$x_{32} = 86.0190635410106$$
$$x_{33} = -130.001360691268$$
$$x_{34} = -1.94553075950364$$
$$x_{35} = 92.3022488481902$$
$$x_{36} = 77.3437544456587$$
$$x_{37} = 48.3199516979331$$
$$x_{38} = -39.6446426025812$$
$$x_{39} = -8.22871606668322$$
$$x_{40} = 98.5854341553698$$
$$x_{41} = 4324.77702209906$$
$$x_{42} = 54.6031370051126$$
$$x_{43} = 58.4941985241199$$
$$x_{44} = 35.7535810835739$$
$$x_{45} = -67.1695076194718$$
$$x_{46} = 96.1933103671974$$
$$x_{47} = -92.3022488481902$$
$$x_{48} = 33.3614572954016$$
$$x_{49} = 89.9101250600178$$
$$x_{50} = -83.6269397528383$$
$$x_{51} = 83.6269397528383$$
$$x_{52} = 8.22871606668322$$
$$x_{53} = -60.8863223122922$$
$$x_{54} = -10.6208398548555$$
$$x_{55} = 45.9278279097607$$
$$x_{56} = 73.4526929266514$$
$$x_{57} = -27.078271988222$$
$$x_{58} = -71.0605691384791$$
$$x_{59} = 64.7773838312995$$
$$x_{60} = 42.0367663907535$$
$$x_{61} = -86.0190635410106$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \pi$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
$$x_{7} = \frac{5 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \pi$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{6} = \pi$$
$$x_{7} = \frac{5 \pi}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/2)
-5*pi (-----, 3/4) 3
(-pi, -3/2)
-pi (----, 3/4) 3
pi (--, 3/4) 3
(pi, -3/2)
5*pi (----, 3/4) 3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)} + \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{33}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)} + \pi, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{1 + \sqrt{33}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{1 - \sqrt{33}} \right)} + \pi\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) - cos(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- Sí
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par