Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(y)

Gráfico de la función y = sin(y)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(y) = sin(y)
f(y)=sin⁡(y)f{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)} 
f = sin(y)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(y)=0\sin{\left(y \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=0y_{1} = 0
y2=πy_{2} = \pi
Solución numérica
y1=−18.8495559215388y_{1} = -18.8495559215388
y2=−53.4070751110265y_{2} = -53.4070751110265
y3=−37.6991118430775y_{3} = -37.6991118430775
y4=−59.6902604182061y_{4} = -59.6902604182061
y5=−15.707963267949y_{5} = -15.707963267949
y6=−113.097335529233y_{6} = -113.097335529233
y7=−56.5486677646163y_{7} = -56.5486677646163
y8=12.5663706143592y_{8} = 12.5663706143592
y9=3.14159265358979y_{9} = 3.14159265358979
y10=−31.4159265358979y_{10} = -31.4159265358979
y11=84.8230016469244y_{11} = 84.8230016469244
y12=−81.6814089933346y_{12} = -81.6814089933346
y13=94.2477796076938y_{13} = 94.2477796076938
y14=21.9911485751286y_{14} = 21.9911485751286
y15=0y_{15} = 0
y16=−87.9645943005142y_{16} = -87.9645943005142
y17=81.6814089933346y_{17} = 81.6814089933346
y18=40.8407044966673y_{18} = 40.8407044966673
y19=−75.398223686155y_{19} = -75.398223686155
y20=−78.5398163397448y_{20} = -78.5398163397448
y21=62.8318530717959y_{21} = 62.8318530717959
y22=100.530964914873y_{22} = 100.530964914873
y23=−21.9911485751286y_{23} = -21.9911485751286
y24=47.1238898038469y_{24} = 47.1238898038469
y25=91.106186954104y_{25} = 91.106186954104
y26=−232.477856365645y_{26} = -232.477856365645
y27=75.398223686155y_{27} = 75.398223686155
y28=28.2743338823081y_{28} = 28.2743338823081
y29=34.5575191894877y_{29} = 34.5575191894877
y30=6.28318530717959y_{30} = 6.28318530717959
y31=78.5398163397448y_{31} = 78.5398163397448
y32=72.2566310325652y_{32} = 72.2566310325652
y33=−6.28318530717959y_{33} = -6.28318530717959
y34=15.707963267949y_{34} = 15.707963267949
y35=31.4159265358979y_{35} = 31.4159265358979
y36=−47.1238898038469y_{36} = -47.1238898038469
y37=25.1327412287183y_{37} = 25.1327412287183
y38=18.8495559215388y_{38} = 18.8495559215388
y39=−94.2477796076938y_{39} = -94.2477796076938
y40=−3.14159265358979y_{40} = -3.14159265358979
y41=−40.8407044966673y_{41} = -40.8407044966673
y42=56.5486677646163y_{42} = 56.5486677646163
y43=−25.1327412287183y_{43} = -25.1327412287183
y44=53.4070751110265y_{44} = 53.4070751110265
y45=−28.2743338823081y_{45} = -28.2743338823081
y46=−2642.07942166902y_{46} = -2642.07942166902
y47=−9.42477796076938y_{47} = -9.42477796076938
y48=87.9645943005142y_{48} = 87.9645943005142
y49=−50.2654824574367y_{49} = -50.2654824574367
y50=−100.530964914873y_{50} = -100.530964914873
y51=−43.9822971502571y_{51} = -43.9822971502571
y52=50.2654824574367y_{52} = 50.2654824574367
y53=−97.3893722612836y_{53} = -97.3893722612836
y54=69.1150383789755y_{54} = 69.1150383789755
y55=59.6902604182061y_{55} = 59.6902604182061
y56=97.3893722612836y_{56} = 97.3893722612836
y57=−62.8318530717959y_{57} = -62.8318530717959
y58=−72.2566310325652y_{58} = -72.2566310325652
y59=−91.106186954104y_{59} = -91.106186954104
y60=−12.5663706143592y_{60} = -12.5663706143592
y61=−69.1150383789755y_{61} = -69.1150383789755
y62=37.6991118430775y_{62} = 37.6991118430775
y63=9.42477796076938y_{63} = 9.42477796076938
y64=65.9734457253857y_{64} = 65.9734457253857
y65=−65.9734457253857y_{65} = -65.9734457253857
y66=−267.035375555132y_{66} = -267.035375555132
y67=−84.8230016469244y_{67} = -84.8230016469244
y68=−34.5575191894877y_{68} = -34.5575191894877
y69=43.9822971502571y_{69} = 43.9822971502571
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sin(y).
sin⁡(0)\sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
cos⁡(y)=0\cos{\left(y \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=π2y_{1} = \frac{\pi}{2}
y2=3π2y_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
y1=3π2y_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
y1=π2y_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(y)=0- \sin{\left(y \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=0y_{1} = 0
y2=πy_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞sin⁡(y)=⟨−1,1⟩\lim_{y \to -\infty} \sin{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡y→∞sin⁡(y)=⟨−1,1⟩\lim_{y \to \infty} \sin{\left(y \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(y), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(sin⁡(y)y)=0\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(y \right)}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡y→∞(sin⁡(y)y)=0\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(y \right)}}{y}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
sin⁡(y)=−sin⁡(y)\sin{\left(y \right)} = - \sin{\left(y \right)}
- No
sin⁡(y)=sin⁡(y)\sin{\left(y \right)} = \sin{\left(y \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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