Sr Examen

Gráfico de la función y = x*exp(x^5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          / 5\
          \x /
f(x) = x*e    
f(x)=xex5f{\left(x \right)} = x e^{x^{5}}
f = x*exp(x^5)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex5=0x e^{x^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=52x_{1} = -52
x2=78x_{2} = -78
x3=38x_{3} = -38
x4=70x_{4} = -70
x5=28x_{5} = -28
x6=16x_{6} = -16
x7=18x_{7} = -18
x8=88x_{8} = -88
x9=92x_{9} = -92
x10=2.20334042149826x_{10} = -2.20334042149826
x11=50x_{11} = -50
x12=44x_{12} = -44
x13=36x_{13} = -36
x14=62x_{14} = -62
x15=4x_{15} = -4
x16=98x_{16} = -98
x17=100x_{17} = -100
x18=90x_{18} = -90
x19=12x_{19} = -12
x20=48x_{20} = -48
x21=22x_{21} = -22
x22=86x_{22} = -86
x23=34x_{23} = -34
x24=68x_{24} = -68
x25=32x_{25} = -32
x26=76x_{26} = -76
x27=94x_{27} = -94
x28=80x_{28} = -80
x29=56x_{29} = -56
x30=8x_{30} = -8
x31=96x_{31} = -96
x32=0x_{32} = 0
x33=24x_{33} = -24
x34=58x_{34} = -58
x35=14x_{35} = -14
x36=26x_{36} = -26
x37=30x_{37} = -30
x38=60x_{38} = -60
x39=46x_{39} = -46
x40=42x_{40} = -42
x41=72x_{41} = -72
x42=84x_{42} = -84
x43=40x_{43} = -40
x44=20x_{44} = -20
x45=82x_{45} = -82
x46=66x_{46} = -66
x47=6x_{47} = -6
x48=54x_{48} = -54
x49=10x_{49} = -10
x50=74x_{50} = -74
x51=64x_{51} = -64
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*exp(x^5).
0e050 e^{0^{5}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5x5ex5+ex5=05 x^{5} e^{x^{5}} + e^{x^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5455x_{1} = - \frac{5^{\frac{4}{5}}}{5}
Signos de extremos en los puntos:
   4/5     4/5  -1/5  
 -5      -5   *e      
(------, ------------)
   5          5       


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5455x_{1} = - \frac{5^{\frac{4}{5}}}{5}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[5455,)\left[- \frac{5^{\frac{4}{5}}}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,5455]\left(-\infty, - \frac{5^{\frac{4}{5}}}{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
5x4(5x5+6)ex5=05 x^{4} \left(5 x^{5} + 6\right) e^{x^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=545655x_{2} = - \frac{5^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{6}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[545655,)\left[- \frac{5^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{6}}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,545655]\left(-\infty, - \frac{5^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{6}}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(xex5)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{x^{5}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(xex5)=\lim_{x \to \infty}\left(x e^{x^{5}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*exp(x^5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limxex5=0\lim_{x \to -\infty} e^{x^{5}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limxex5=\lim_{x \to \infty} e^{x^{5}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex5=xex5x e^{x^{5}} = - x e^{- x^{5}}
- No
xex5=xex5x e^{x^{5}} = x e^{- x^{5}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar