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Trazado el gráfico de la función/ arctg(1/(1+x^2))/(ln(1+x)-ln(x))

Gráfico de la función y = arctg(1/(1+x^2))/(ln(1+x)-ln(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               /  1   \   
           atan|------|   
               |     2|   
               \1 + x /   
f(x) = -------------------
       log(1 + x) - log(x)
f(x)=atan⁡(1x2+1)−log⁡(x)+log⁡(x+1)f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}} 
f = atan(1/(x^2 + 1))/(-log(x) + log(x + 1))
Gráfico de la función
10.000010.010010.001010.002010.003010.004010.005010.006010.007010.008010.00900.100.12
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(1x2+1)−log⁡(x)+log⁡(x+1)=0\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(1/(1 + x^2))/(log(1 + x) - log(x)).
atan⁡(102+1)−log⁡(0)+log⁡(1)\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{0^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(0 \right)} + \log{\left(1 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(1+1(x2+1)2)(x2+1)2(−log⁡(x)+log⁡(x+1))+(−1x+1+1x)atan⁡(1x2+1)(−log⁡(x)+log⁡(x+1))2=0- \frac{2 x}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)} + \frac{\left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.86587904984929x_{1} = -1.86587904984929
Signos de extremos en los puntos:
(-1.8658790498492872, -0.285958882865573)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1.86587904984929x_{1} = -1.86587904984929
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1.86587904984929,∞)\left[-1.86587904984929, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1.86587904984929]\left(-\infty, -1.86587904984929\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(1x2+1)−log⁡(x)+log⁡(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(1x2+1)−log⁡(x)+log⁡(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(1/(1 + x^2))/(log(1 + x) - log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(1x2+1)x(−log⁡(x)+log⁡(x+1)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{x \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(1x2+1)x(−log⁡(x)+log⁡(x+1)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{x \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(1x2+1)−log⁡(x)+log⁡(x+1)=atan⁡(1x2+1)−log⁡(−x)+log⁡(1−x)\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(- x \right)} + \log{\left(1 - x \right)}}
- No
atan⁡(1x2+1)−log⁡(x)+log⁡(x+1)=−atan⁡(1x2+1)−log⁡(−x)+log⁡(1−x)\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x^{2} + 1} \right)}}{- \log{\left(- x \right)} + \log{\left(1 - x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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