Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x(ln^2)x

Gráfico de la función y = x(ln^2)x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2     
f(x) = x*log (x)*x
f(x)=xxlog⁡(x)2f{\left(x \right)} = x x \log{\left(x \right)}^{2} 
f = x*(x*log(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xxlog⁡(x)2=0x x \log{\left(x \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1.000000966701x_{1} = 1.000000966701
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*log(x)^2)*x.
0⋅0log⁡(0)20 \cdot 0 \log{\left(0 \right)}^{2}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(log⁡(x)2+2log⁡(x))+xlog⁡(x)2=0x \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)}\right) + x \log{\left(x \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=e−1x_{2} = e^{-1}
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)

  -1   -2 
(e , e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−1]∪[1,∞)\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[e−1,1]\left[e^{-1}, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(log⁡(x)2+3log⁡(x)+1)=02 \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−32−52x_{1} = e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}
x2=e−32+52x_{2} = e^{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−32−52]∪[e−32+52,∞)\left(-\infty, e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}\right] \cup \left[e^{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[e−32−52,e−32+52]\left[e^{- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}, e^{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xxlog⁡(x)2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x x \log{\left(x \right)}^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xxlog⁡(x)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x x \log{\left(x \right)}^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*log(x)^2)*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(x \right)}^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(x \right)}^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xxlog⁡(x)2=x2log⁡(−x)2x x \log{\left(x \right)}^{2} = x^{2} \log{\left(- x \right)}^{2}
- No
xxlog⁡(x)2=−x2log⁡(−x)2x x \log{\left(x \right)}^{2} = - x^{2} \log{\left(- x \right)}^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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