Sr Examen

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arcctg((1/x)-(x/2))
Trazado el gráfico de la función/ arcctg((1/x)-(x/2))

Gráfico de la función y = arcctg((1/x)-(x/2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /1   x\
f(x) = acot|- - -|
           \x   2/
f(x)=acot⁡(−x2+1x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)} 
f = acot(-x/2 + 1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acot⁡(−x2+1x)=0\operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(1/x - x/2).
acot⁡(10−02)\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{0} - \frac{0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−12−1x2(−x2+1x)2+1=0- \frac{- \frac{1}{2} - \frac{1}{x^{2}}}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4((1+2x2)2(x−2x)(x−2x)2+4+2x3)(x−2x)2+4=0- \frac{4 \left(\frac{\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{2}{x}\right)}{\left(x - \frac{2}{x}\right)^{2} + 4} + \frac{2}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{2}{x}\right)^{2} + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−−2+22x_{1} = - \sqrt{-2 + 2 \sqrt{2}}
x2=−2+22x_{2} = \sqrt{-2 + 2 \sqrt{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−4((1+2x2)2(x−2x)(x−2x)2+4+2x3)(x−2x)2+4)=0\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{4 \left(\frac{\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{2}{x}\right)}{\left(x - \frac{2}{x}\right)^{2} + 4} + \frac{2}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{2}{x}\right)^{2} + 4}\right) = 0
lim⁡x→0+(−4((1+2x2)2(x−2x)(x−2x)2+4+2x3)(x−2x)2+4)=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 \left(\frac{\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{2}{x}\right)}{\left(x - \frac{2}{x}\right)^{2} + 4} + \frac{2}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{2}{x}\right)^{2} + 4}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−−2+22]\left(-\infty, - \sqrt{-2 + 2 \sqrt{2}}\right]
Convexa en los intervalos
[−2+22,∞)\left[\sqrt{-2 + 2 \sqrt{2}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡(−x2+1x)=−π\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)} = - \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−πy = - \pi
lim⁡x→∞acot⁡(−x2+1x)=π\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)} = \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=πy = \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(1/x - x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(−x2+1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡(−x2+1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡(−x2+1x)=acot⁡(x2−1x)\operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x} \right)}
- No
acot⁡(−x2+1x)=−acot⁡(x2−1x)\operatorname{acot}{\left(- \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = arcctg((1/x)-(x/2))
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