Gráfico de la función y = arcctg(1/(𝑥−2))

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           /  1  \
f(x) = acot|-----|
           \x - 2/

f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)}

f = acot(1/(x - 2))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 2

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(1/(x - 2)).

\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{-2} \right)}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{2} \right)}

Punto:

(0, -acot(1/2))

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

\frac{2 \left(-1 + \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) \left(x - 2\right)^{3}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 2

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)} = \frac{\pi}{2}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = \frac{\pi}{2}

\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)} = \frac{\pi}{2}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = \frac{\pi}{2}

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(1/(x - 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{- x - 2} \right)}

- No

\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x - 2} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{- x - 2} \right)}

- No
es decir, función
no es
par ni impar