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Trazado el gráfico de la función/ arcctg(1/x)

Gráfico de la función y = arcctg(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /1\
f(x) = acot|-|
           \x/
f(x)=acot⁡(1x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)} 
f = acot(1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acot⁡(1x)=0\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(1/x).
acot⁡(10)\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x2(1+1x2)=0\frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1+1x2(1+1x2))x3(1+1x2)=0\frac{2 \left(-1 + \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡(1x)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞acot⁡(1x)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡(1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡(1x)=−acot⁡(1x)\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)}
- No
acot⁡(1x)=acot⁡(1x)\operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1}{x} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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