Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^3*exp(x)

Gráfico de la función y = x^3*exp(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3  x
f(x) = x *e
f(x)=x3exf{\left(x \right)} = x^{3} e^{x} 
f = x^3*exp(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500000025000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3ex=0x^{3} e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−73.9458061467892x_{1} = -73.9458061467892
x2=−39.6921638743108x_{2} = -39.6921638743108
x3=−50.6953021085607x_{3} = -50.6953021085607
x4=−66.1158854871866x_{4} = -66.1158854871866
x5=−60.2838279161017x_{5} = -60.2838279161017
x6=−62.2229958168436x_{6} = -62.2229958168436
x7=−97.6338001722932x_{7} = -97.6338001722932
x8=−105.566581155148x_{8} = -105.566581155148
x9=−77.8771426363418x_{9} = -77.8771426363418
x10=−119.473696806211x_{10} = -119.473696806211
x11=−111.523476442329x_{11} = -111.523476442329
x12=−75.9103368174603x_{12} = -75.9103368174603
x13=−117.485413951559x_{13} = -117.485413951559
x14=−64.1672177737049x_{14} = -64.1672177737049
x15=−58.3504397456909x_{15} = -58.3504397456909
x16=−89.7154509915966x_{16} = -89.7154509915966
x17=−83.7892084427348x_{17} = -83.7892084427348
x18=−79.846010822632x_{18} = -79.846010822632
x19=−81.8167544117873x_{19} = -81.8167544117873
x20=−6.37672685750786⋅10−5x_{20} = -6.37672685750786 \cdot 10^{-5}
x21=−87.7386796067909x_{21} = -87.7386796067909
x22=−43.254793289805x_{22} = -43.254793289805
x23=−101.598637273947x_{23} = -101.598637273947
x24=−54.5046825561654x_{24} = -54.5046825561654
x25=−115.49759696096x_{25} = -115.49759696096
x26=−46.9371649842841x_{26} = -46.9371649842841
x27=−70.0245793288288x_{27} = -70.0245793288288
x28=−45.0843950117395x_{28} = -45.0843950117395
x29=−41.454503250211x_{29} = -41.454503250211
x30=−52.5946760133184x_{30} = -52.5946760133184
x31=−113.510274213085x_{31} = -113.510274213085
x32=−93.6725453940216x_{32} = -93.6725453940216
x33=−95.6526915671241x_{33} = -95.6526915671241
x34=−71.9837938598591x_{34} = -71.9837938598591
x35=−56.4237044386907x_{35} = -56.4237044386907
x36=−109.537236988787x_{36} = -109.537236988787
x37=−68.068485074228x_{37} = -68.068485074228
x38=−99.615802770923x_{38} = -99.615802770923
x39=−121.46241928026x_{39} = -121.46241928026
x40=−48.8085971699827x_{40} = -48.8085971699827
x41=−85.7632268036374x_{41} = -85.7632268036374
x42=0x_{42} = 0
x43=−103.58224722089x_{43} = -103.58224722089
x44=−107.551592080799x_{44} = -107.551592080799
x45=−91.6934372760935x_{45} = -91.6934372760935
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*exp(x).
03e00^{3} e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3ex+3x2ex=0x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
          -3 
(-3, -27*e  )

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−3,∞)\left[-3, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3]\left(-\infty, -3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(x2+6x+6)ex=0x \left(x^{2} + 6 x + 6\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3−3x_{2} = -3 - \sqrt{3}
x3=−3+3x_{3} = -3 + \sqrt{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3−3,−3+3]∪[0,∞)\left[-3 - \sqrt{3}, -3 + \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3−3]∪[−3+3,0]\left(-\infty, -3 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-3 + \sqrt{3}, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x3ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3ex=−x3e−xx^{3} e^{x} = - x^{3} e^{- x}
- No
x3ex=x3e−xx^{3} e^{x} = x^{3} e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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