Integral de x^3*exp(x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = 6 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Ahora resolvemos podintegral.

4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 6 e^{x}\, dx = 6 \int e^{x}\, dx$

   1. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{x}$

5. Ahora simplificar:

   $\left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}$

6. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$