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(x+1)/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x+1)/(x^2+1)

Gráfico de la función y = (x+1)/(x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + 1 
f(x) = ------
        2    
       x  + 1
f(x)=x+1x2+1f{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x^{2} + 1} 
f = (x + 1)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+1x2+1=0\frac{x + 1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 1)/(x^2 + 1).
102+1\frac{1}{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x+1)(x2+1)2+1x2+1=0- \frac{2 x \left(x + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+2x_{1} = -1 + \sqrt{2}
x2=−2−1x_{2} = - \sqrt{2} - 1
Signos de extremos en los puntos:
                     ___       
        ___        \/ 2        
(-1 + \/ 2, -----------------)
                             2 
                 /       ___\  
             1 + \-1 + \/ 2 /  

                     ___       
        ___       -\/ 2        
(-1 - \/ 2, -----------------)
                             2 
                 /       ___\  
             1 + \-1 - \/ 2 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2−1x_{1} = - \sqrt{2} - 1
Puntos máximos de la función:
x1=−1+2x_{1} = -1 + \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
[−2−1,−1+2]\left[- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2−1]∪[−1+2,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x+1)(4x2x2+1−1))(x2+1)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=−2−3x_{2} = -2 - \sqrt{3}
x3=−2+3x_{3} = -2 + \sqrt{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2−3,−2+3]∪[1,∞)\left[-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2−3]∪[−2+3,1]\left(-\infty, -2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-2 + \sqrt{3}, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x+1x2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 1)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x(x2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+1x(x2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+1x2+1=1−xx2+1\frac{x + 1}{x^{2} + 1} = \frac{1 - x}{x^{2} + 1}
- No
x+1x2+1=−1−xx2+1\frac{x + 1}{x^{2} + 1} = - \frac{1 - x}{x^{2} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+1)/(x^2+1)
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