Sr Examen

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x/(x-1)^3
Trazado el gráfico de la función/ x/(x-1)^3

Gráfico de la función y = x/(x-1)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x    
f(x) = --------
              3
       (x - 1)
f(x)=x(x−1)3f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} 
f = x/(x - 1)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−1)3=0\frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x - 1)^3.
0(−1)3\frac{0}{\left(-1\right)^{3}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x(x−1)4+1(x−1)3=0- \frac{3 x}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, 4/27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(2xx−1−1)(x−1)4=0\frac{6 \left(\frac{2 x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(6(2xx−1−1)(x−1)4)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 \left(\frac{2 x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(6(2xx−1−1)(x−1)4)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 \left(\frac{2 x}{x - 1} - 1\right)}{\left(x - 1\right)^{4}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Convexa en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−1)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x−1)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x - 1)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1(x−1)3=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1(x−1)3=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−1)3=−x(−x−1)3\frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} = - \frac{x}{\left(- x - 1\right)^{3}}
- No
x(x−1)3=x(−x−1)3\frac{x}{\left(x - 1\right)^{3}} = \frac{x}{\left(- x - 1\right)^{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(x-1)^3
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