Sr Examen

Otras calculadoras

(x^3-1)/(x^2+1)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • (x-1)/(x+2) (x-1)/(x+2)
  • Derivada de:
  • (x^3-1)/(x^2+1) (x^3-1)/(x^2+1)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ tres - uno)/(x^ dos + uno)
  • (x al cubo menos 1) dividir por (x al cuadrado más 1)
  • (x en el grado tres menos uno) dividir por (x en el grado dos más uno)
  • (x3-1)/(x2+1)
  • x3-1/x2+1
  • (x³-1)/(x²+1)
  • (x en el grado 3-1)/(x en el grado 2+1)
  • x^3-1/x^2+1
  • (x^3-1) dividir por (x^2+1)

  • Expresiones semejantes

  • (x^3-1)/(x^2-1)
  • (x^3+1)/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^3-1)/(x^2+1)

Gráfico de la función y = (x^3-1)/(x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    
       x  - 1
f(x) = ------
        2    
       x  + 1
f(x)=x3−1x2+1f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 1} 
f = (x^3 - 1)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3−1x2+1=0\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 - 1)/(x^2 + 1).
−1+0302+1\frac{-1 + 0^{3}}{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2x2+1−2x(x3−1)(x2+1)2=0\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{2 x \left(x^{3} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−27+27233+327+2723x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

                                                                                        3 
                                               /                        _______________\  
                                               |                     3 /           ___ |  
                                               |        3            \/  27 + 27*\/ 2  |  
                                          -1 + |------------------ - ------------------|  
                         _______________       |   _______________           3         |  
                      3 /           ___        |3 /           ___                      |  
         3            \/  27 + 27*\/ 2         \\/  27 + 27*\/ 2                       /  
(------------------ - ------------------, -----------------------------------------------)
    _______________           3                                                         2 
 3 /           ___                             /                        _______________\  
 \/  27 + 27*\/ 2                              |                     3 /           ___ |  
                                               |        3            \/  27 + 27*\/ 2  |  
                                           1 + |------------------ - ------------------|  
                                               |   _______________           3         |  
                                               |3 /           ___                      |  
                                               \\/  27 + 27*\/ 2                       /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−27+27233+327+2723x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}
Decrece en los intervalos
(−∞,−27+27233+327+2723]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−27+27233+327+2723,0]\left[- \frac{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}{3} + \frac{3}{\sqrt[3]{27 + 27 \sqrt{2}}}, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−6x3x2+1+3x+(x3−1)(4x2x2+1−1)x2+1)x2+1=0\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} + 1} + 3 x + \frac{\left(x^{3} - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1}\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=−2−3x_{2} = -2 - \sqrt{3}
x3=−2+3x_{3} = -2 + \sqrt{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2−3]∪[−2+3,∞)\left(-\infty, -2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-2 + \sqrt{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2+3]∪[1,∞)\left(-\infty, -2 + \sqrt{3}\right] \cup \left[1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3−1x2+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3−1x2+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 1)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3−1x(x2+1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x3−1x(x2+1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3−1x2+1=−x3−1x2+1\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 1} = \frac{- x^{3} - 1}{x^{2} + 1}
- No
x3−1x2+1=−−x3−1x2+1\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 1} = - \frac{- x^{3} - 1}{x^{2} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3-1)/(x^2+1)
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