Sr Examen

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(x^3+1)/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^3+1)/(x^2+1)

Gráfico de la función y = (x^3+1)/(x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    
       x  + 1
f(x) = ------
        2    
       x  + 1
f(x)=x3+1x2+1f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} 
f = (x^3 + 1)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3+1x2+1=0\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + 1)/(x^2 + 1).
03+102+1\frac{0^{3} + 1}{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2x2+1−2x(x3+1)(x2+1)2=0\frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{2 x \left(x^{3} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−11+23+1+23x_{2} = - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

                                                                       3 
                                      /   ___________                 \  
                                      |3 /       ___          1       |  
                                  1 + |\/  1 + \/ 2   - --------------|  
                                      |                    ___________|  
    ___________                       |                 3 /       ___ |  
 3 /       ___          1             \                 \/  1 + \/ 2  /  
(\/  1 + \/ 2   - --------------, --------------------------------------)
                     ___________                                       2 
                  3 /       ___       /   ___________                 \  
                  \/  1 + \/ 2        |3 /       ___          1       |  
                                  1 + |\/  1 + \/ 2   - --------------|  
                                      |                    ___________|  
                                      |                 3 /       ___ |  
                                      \                 \/  1 + \/ 2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−11+23+1+23x_{1} = - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[−11+23+1+23,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[- \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,−11+23+1+23]\left[0, - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−6x3x2+1+3x+(x3+1)(4x2x2+1−1)x2+1)x2+1=0\frac{2 \left(- \frac{6 x^{3}}{x^{2} + 1} + 3 x + \frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1}\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=2−3x_{2} = 2 - \sqrt{3}
x3=3+2x_{3} = \sqrt{3} + 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]∪[2−3,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2 - \sqrt{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2−3]∪[3+2,∞)\left(-\infty, 2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3+1x2+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+1x2+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 1)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3+1x(x2+1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x3+1x(x2+1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3+1x2+1=1−x3x2+1\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 1}
- No
x3+1x2+1=−1−x3x2+1\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3+1)/(x^2+1)
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