Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x-1)^2)-cbrt((x-2)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x-1)^2)-cbrt((x-2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________      __________
       3 /        2    3 /        2 
f(x) = \/  (x - 1)   - \/  (x - 2)
f(x)=−(x−2)23+(x−1)23f{\left(x \right)} = - \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} 
f = -((x - 2)^2)^(1/3) + ((x - 1)^2)^(1/3)
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.02-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−(x−2)23+(x−1)23=0- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=1.5x_{1} = 1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 1)^2)^(1/3) - ((x - 2)^2)^(1/3).
−(−2)23+(−1)23- \sqrt[3]{\left(-2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(-1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=1−223f{\left(0 \right)} = 1 - 2^{\frac{2}{3}}
Punto:
(0, 1 - 2^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(2x3−43)∣x−2∣23(x−2)2+(2x3−23)∣x−1∣23(x−1)2=0- \frac{\left(\frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}\right) \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2sign⁡(x−1)(x−1)∣x−1∣3−3∣x−1∣23(x−1)2−2sign⁡(x−2)(x−2)∣x−2∣3+3∣x−2∣23(x−2)2)9=0\frac{2 \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right) \sqrt[3]{\left|{x - 1}\right|}} - \frac{3 \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\left(x - 2\right) \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} + \frac{3 \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=95304.0268252043x_{1} = 95304.0268252043
x2=−103791.362192748x_{2} = -103791.362192748
x3=−129133.055363848x_{3} = -129133.055363848
x4=−183435.782860475x_{4} = -183435.782860475
x5=−74828.6242703155x_{5} = -74828.6242703155
x6=106164.887247276x_{6} = 106164.887247276
x7=−85689.802224819x_{7} = -85689.802224819
x8=160468.073230856x_{8} = 160468.073230856
x9=113405.402368939x_{9} = 113405.402368939
x10=−114652.140240002x_{10} = -114652.140240002
x11=−136373.473042397x_{11} = -136373.473042397
x12=−132753.267073585x_{12} = -132753.267073585
x13=−92930.4749233495x_{13} = -92930.4749233495
x14=149607.530835116x_{14} = 149607.530835116
x15=−168955.129307482x_{15} = -168955.129307482
x16=109785.149885881x_{16} = 109785.149885881
x17=−158094.610380195x_{17} = -158094.610380195
x18=−121892.612675662x_{18} = -121892.612675662
x19=−147234.060737799x_{19} = -147234.060737799
x20=−111031.891048395x_{20} = -111031.891048395
x21=−176195.460999757x_{21} = -176195.460999757
x22=−179815.623084838x_{22} = -179815.623084838
x23=−107411.632041635x_{23} = -107411.632041635
x24=−154474.430898759x_{24} = -154474.430898759
x25=77202.2491018338x_{25} = 77202.2491018338
x26=−118272.380517698x_{26} = -118272.380517698
x27=84443.0250051142x_{27} = 84443.0250051142
x28=117025.645638938x_{28} = 117025.645638938
x29=−165334.959370894x_{29} = -165334.959370894
x30=−125512.837416453x_{30} = -125512.837416453
x31=131506.541805723x_{31} = 131506.541805723
x32=127886.327994658x_{32} = 127886.327994658
x33=91683.7110774952x_{33} = 91683.7110774952
x34=164088.247214284x_{34} = 164088.247214284
x35=153227.715282796x_{35} = 153227.715282796
x36=138746.952169846x_{36} = 138746.952169846
x37=−96550.7850906174x_{37} = -96550.7850906174
x38=178568.914598841x_{38} = 178568.914598841
x39=−161714.786463164x_{39} = -161714.786463164
x40=88063.377885336x_{40} = 88063.377885336
x41=120645.880525241x_{41} = 120645.880525241
x42=−78449.0435994471x_{42} = -78449.0435994471
x43=142367.149600594x_{43} = 142367.149600594
x44=135126.749709999x_{44} = 135126.749709999
x45=102544.61337754x_{45} = 102544.61337754
x46=−143613.869493746x_{46} = -143613.869493746
x47=98924.3270436442x_{47} = 98924.3270436442
x48=−89310.1480088897x_{48} = -89310.1480088897
x49=124266.107760565x_{49} = 124266.107760565
x50=−82069.4350742536x_{50} = -82069.4350742536
x51=−150854.2477742x_{51} = -150854.2477742
x52=−139993.673715634x_{52} = -139993.673715634
x53=171328.586254447x_{53} = 171328.586254447
x54=80822.6497912284x_{54} = 80822.6497912284
x55=−172575.296459901x_{55} = -172575.296459901
x56=145987.342376377x_{56} = 145987.342376377
x57=167708.418157916x_{57} = 167708.418157916
x58=−100171.080326311x_{58} = -100171.080326311
x59=174948.751680618x_{59} = 174948.751680618
x60=156847.895997152x_{60} = 156847.895997152

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[174948.751680618,∞)\left[174948.751680618, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−147234.060737799]\left(-\infty, -147234.060737799\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−2)23+(x−1)23)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−(x−2)23+(x−1)23)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)^2)^(1/3) - ((x - 2)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−(x−2)23+(x−1)23x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−(x−2)23+(x−1)23x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−(x−2)23+(x−1)23=∣x+1∣23−∣x+2∣23- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} = \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}} - \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
−(x−2)23+(x−1)23=−∣x+1∣23+∣x+2∣23- \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2}} + \sqrt[3]{\left(x - 1\right)^{2}} = - \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}} + \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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