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Trazado el gráfico de la función/ -2*log(1+sqrt(x))+2*sqrt(x)

Gráfico de la función y = -2*log(1+sqrt(x))+2*sqrt(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /      ___\       ___
f(x) = - 2*log\1 + \/ x / + 2*\/ x
f(x)=2x−2log⁡(x+1)f{\left(x \right)} = 2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} 
f = 2*sqrt(x) - 2*log(sqrt(x) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−2log⁡(x+1)=02 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*log(1 + sqrt(x)) + 2*sqrt(x).
−2log⁡(0+1)+20- 2 \log{\left(\sqrt{0} + 1 \right)} + 2 \sqrt{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x−1x(x+1)=0\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1x(x+1)2−1x32+1x32(x+1)2=0\frac{\frac{1}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} + 1\right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−2log⁡(x+1))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2x−2log⁡(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*log(1 + sqrt(x)) + 2*sqrt(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−2log⁡(x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x−2log⁡(x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−2log⁡(x+1)=2−x−2log⁡(−x+1)2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} = 2 \sqrt{- x} - 2 \log{\left(\sqrt{- x} + 1 \right)}
- No
2x−2log⁡(x+1)=−2−x+2log⁡(−x+1)2 \sqrt{x} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)} = - 2 \sqrt{- x} + 2 \log{\left(\sqrt{- x} + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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