Sr Examen

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3^(1/3)*(1/(1-exp(3*x)+3*x))^(1/3)

Gráfico de la función y = 3^(1/3)*(1/(1-exp(3*x)+3*x))^(1/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                  ________________
       3 ___     /       1        
f(x) = \/ 3 *   /  -------------- 
             3 /        3*x       
             \/    1 - e    + 3*x 
f(x)=3313x+(1e3x)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}}
f = 3^(1/3)*(1/(3*x + 1 - exp(3*x)))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3313x+(1e3x)3=0\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3^(1/3)*(1/(1 - exp(3*x) + 3*x))^(1/3).
33103+(1e03)3\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{0 \cdot 3 + \left(1 - e^{0 \cdot 3}\right)}}
Resultado:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
33(3e3x3)13x+(1e3x)33(3x+(1e3x))=0\frac{\sqrt[3]{3} \left(3 e^{3 x} - 3\right) \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}}}{3 \left(3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=75.1816620378446x_{1} = 75.1816620378446
x2=67.1816620378446x_{2} = 67.1816620378446
x3=41.1816620378446x_{3} = 41.1816620378446
x4=91.1816620378446x_{4} = 91.1816620378446
x5=79.1816620378446x_{5} = 79.1816620378446
x6=65.1816620378446x_{6} = 65.1816620378446
x7=77.1816620378446x_{7} = 77.1816620378446
x8=101.181662037845x_{8} = 101.181662037845
x9=33.1816620378446x_{9} = 33.1816620378446
Signos de extremos en los puntos:
                                        3 ____ 
(75.18166203784463, 2.2336701302732e-33*\/ -3 )

                                         3 ____ 
(67.18166203784463, 6.65847681525443e-30*\/ -3 )

                                         3 ____ 
(41.18166203784463, 1.30326106644073e-18*\/ -3 )

                                         3 ____ 
(91.18166203784463, 2.51366458375483e-40*\/ -3 )

                                         3 ____ 
(79.18166203784463, 4.09110955026358e-35*\/ -3 )

                                         3 ____ 
(65.18166203784463, 4.91998587213441e-29*\/ -3 )

                                         3 ____ 
(77.18166203784463, 3.02294379737685e-34*\/ -3 )

                                          3 ____ 
(101.18166203784463, 1.14120195548915e-44*\/ -3 )

                                         3 ____ 
(33.18166203784461, 3.88496648520707e-15*\/ -3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(3313x+(1e3x)3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(3313x+(1e3x)3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3^(1/3)*(1/(1 - exp(3*x) + 3*x))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(3313x+(1e3x)3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(3313x+(1e3x)3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3313x+(1e3x)3=3313x+1e3x3\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}} = \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{- 3 x + 1 - e^{- 3 x}}}
- No
3313x+(1e3x)3=3313x+1e3x3\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 x + \left(1 - e^{3 x}\right)}} = - \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{\frac{1}{- 3 x + 1 - e^{- 3 x}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3^(1/3)*(1/(1-exp(3*x)+3*x))^(1/3)