Sr Examen

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sqrt(8x^2-x^4)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(8x^2-x^4)

Gráfico de la función y = sqrt(8x^2-x^4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ___________
         /    2    4 
f(x) = \/  8*x  - x
f(x)=−x4+8x2f{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}} 
f = sqrt(-x^4 + 8*x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x4+8x2=0\sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−22x_{2} = - 2 \sqrt{2}
x3=22x_{3} = 2 \sqrt{2}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−2.82842712474619x_{2} = -2.82842712474619
x3=2.82842712474619x_{3} = 2.82842712474619
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(8*x^2 - x^4).
8⋅02−04\sqrt{8 \cdot 0^{2} - 0^{4}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x3+8x−x4+8x2=0\frac{- 2 x^{3} + 8 x}{\sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 4)

(2, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=−2x_{2} = -2
x2=2x_{2} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(3x2−4∣x∣+2(x2−4)2∣x∣x2(8−x2))8−x2=0- \frac{2 \left(\frac{3 x^{2} - 4}{\left|{x}\right|} + \frac{2 \left(x^{2} - 4\right)^{2} \left|{x}\right|}{x^{2} \left(8 - x^{2}\right)}\right)}{\sqrt{8 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - 2 \sqrt{3}
x2=23x_{2} = 2 \sqrt{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞−x4+8x2=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞−x4+8x2=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(8*x^2 - x^4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x4+8x2x)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x4+8x2x)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x4+8x2=−x4+8x2\sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}} = \sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}}
- Sí
−x4+8x2=−−x4+8x2\sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}} = - \sqrt{- x^{4} + 8 x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(8x^2-x^4)
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