Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
y=2x^2+x+1
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
Expresiones idénticas
- tg2x/x
- tg2x dividir por x
-
Expresiones semejantes
- arctg(2x)/x
- arctg(2x/(x+3))
- (x-arctg(2x))/x
Gráfico de la función y = tg2x/x
Solución
Ha introducido
[src]
tan(2*x)
f(x) = --------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}$$
f = tan(2*x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 31.4159265358979$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = 70.6858347057703$$
$$x_{4} = -89.5353906273091$$
$$x_{5} = 53.4070751110265$$
$$x_{6} = 42.4115008234622$$
$$x_{7} = -64.4026493985908$$
$$x_{8} = 14.1371669411541$$
$$x_{9} = -1.5707963267949$$
$$x_{10} = -78.5398163397448$$
$$x_{11} = -53.4070751110265$$
$$x_{12} = -67.5442420521806$$
$$x_{13} = 89.5353906273091$$
$$x_{14} = -9.42477796076938$$
$$x_{15} = -20.4203522483337$$
$$x_{16} = 28.2743338823081$$
$$x_{17} = 62.8318530717959$$
$$x_{18} = 9.42477796076938$$
$$x_{19} = -80.1106126665397$$
$$x_{20} = 50.2654824574367$$
$$x_{21} = 36.1283155162826$$
$$x_{22} = -97.3893722612836$$
$$x_{23} = 95.8185759344887$$
$$x_{24} = 45.553093477052$$
$$x_{25} = -100.530964914873$$
$$x_{26} = 92.6769832808989$$
$$x_{27} = 34.5575191894877$$
$$x_{28} = 1.5707963267949$$
$$x_{29} = -29.845130209103$$
$$x_{30} = 65.9734457253857$$
$$x_{31} = 23.5619449019235$$
$$x_{32} = 20.4203522483337$$
$$x_{33} = 78.5398163397448$$
$$x_{34} = 59.6902604182061$$
$$x_{35} = -47.1238898038469$$
$$x_{36} = 100.530964914873$$
$$x_{37} = -72.2566310325652$$
$$x_{38} = 21.9911485751286$$
$$x_{39} = 7.85398163397448$$
$$x_{40} = -17.2787595947439$$
$$x_{41} = 84.8230016469244$$
$$x_{42} = 4.71238898038469$$
$$x_{43} = -37.6991118430775$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = -21.9911485751286$$
$$x_{46} = 26.7035375555132$$
$$x_{47} = 64.4026493985908$$
$$x_{48} = 12.5663706143592$$
$$x_{49} = -87.9645943005142$$
$$x_{50} = -42.4115008234622$$
$$x_{51} = -3.14159265358979$$
$$x_{52} = -14.1371669411541$$
$$x_{53} = -94.2477796076938$$
$$x_{54} = -51.8362787842316$$
$$x_{55} = -69.1150383789755$$
$$x_{56} = 15.707963267949$$
$$x_{57} = 18.8495559215388$$
$$x_{58} = 40.8407044966673$$
$$x_{59} = -43.9822971502571$$
$$x_{60} = -6.28318530717959$$
$$x_{61} = 58.1194640914112$$
$$x_{62} = -28.2743338823081$$
$$x_{63} = 48.6946861306418$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -34.5575191894877$$
$$x_{66} = -95.8185759344887$$
$$x_{67} = 81.6814089933346$$
$$x_{68} = -75.398223686155$$
$$x_{69} = -36.1283155162826$$
$$x_{70} = -91.106186954104$$
$$x_{71} = 94.2477796076938$$
$$x_{72} = 86.3937979737193$$
$$x_{73} = -59.6902604182061$$
$$x_{74} = 87.9645943005142$$
$$x_{75} = -56.5486677646163$$
$$x_{76} = -15.707963267949$$
$$x_{77} = -23.5619449019235$$
$$x_{78} = -12.5663706143592$$
$$x_{79} = -61.261056745001$$
$$x_{80} = -7.85398163397448$$
$$x_{81} = 67.5442420521806$$
$$x_{82} = 80.1106126665397$$
$$x_{83} = 6.28318530717959$$
$$x_{84} = 29.845130209103$$
$$x_{85} = 97.3893722612836$$
$$x_{86} = -50.2654824574367$$
$$x_{87} = -25.1327412287183$$
$$x_{88} = -73.8274273593601$$
$$x_{89} = 37.6991118430775$$
$$x_{90} = -86.3937979737193$$
$$x_{91} = 51.8362787842316$$
$$x_{92} = 43.9822971502571$$
$$x_{93} = 56.5486677646163$$
$$x_{94} = -45.553093477052$$
$$x_{95} = -65.9734457253857$$
$$x_{96} = 75.398223686155$$
$$x_{97} = -39.2699081698724$$
$$x_{98} = -31.4159265358979$$
$$x_{99} = 72.2566310325652$$
$$x_{100} = -58.1194640914112$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 31.4159265358979$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = 70.6858347057703$$
$$x_{4} = -89.5353906273091$$
$$x_{5} = 53.4070751110265$$
$$x_{6} = 42.4115008234622$$
$$x_{7} = -64.4026493985908$$
$$x_{8} = 14.1371669411541$$
$$x_{9} = -1.5707963267949$$
$$x_{10} = -78.5398163397448$$
$$x_{11} = -53.4070751110265$$
$$x_{12} = -67.5442420521806$$
$$x_{13} = 89.5353906273091$$
$$x_{14} = -9.42477796076938$$
$$x_{15} = -20.4203522483337$$
$$x_{16} = 28.2743338823081$$
$$x_{17} = 62.8318530717959$$
$$x_{18} = 9.42477796076938$$
$$x_{19} = -80.1106126665397$$
$$x_{20} = 50.2654824574367$$
$$x_{21} = 36.1283155162826$$
$$x_{22} = -97.3893722612836$$
$$x_{23} = 95.8185759344887$$
$$x_{24} = 45.553093477052$$
$$x_{25} = -100.530964914873$$
$$x_{26} = 92.6769832808989$$
$$x_{27} = 34.5575191894877$$
$$x_{28} = 1.5707963267949$$
$$x_{29} = -29.845130209103$$
$$x_{30} = 65.9734457253857$$
$$x_{31} = 23.5619449019235$$
$$x_{32} = 20.4203522483337$$
$$x_{33} = 78.5398163397448$$
$$x_{34} = 59.6902604182061$$
$$x_{35} = -47.1238898038469$$
$$x_{36} = 100.530964914873$$
$$x_{37} = -72.2566310325652$$
$$x_{38} = 21.9911485751286$$
$$x_{39} = 7.85398163397448$$
$$x_{40} = -17.2787595947439$$
$$x_{41} = 84.8230016469244$$
$$x_{42} = 4.71238898038469$$
$$x_{43} = -37.6991118430775$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = -21.9911485751286$$
$$x_{46} = 26.7035375555132$$
$$x_{47} = 64.4026493985908$$
$$x_{48} = 12.5663706143592$$
$$x_{49} = -87.9645943005142$$
$$x_{50} = -42.4115008234622$$
$$x_{51} = -3.14159265358979$$
$$x_{52} = -14.1371669411541$$
$$x_{53} = -94.2477796076938$$
$$x_{54} = -51.8362787842316$$
$$x_{55} = -69.1150383789755$$
$$x_{56} = 15.707963267949$$
$$x_{57} = 18.8495559215388$$
$$x_{58} = 40.8407044966673$$
$$x_{59} = -43.9822971502571$$
$$x_{60} = -6.28318530717959$$
$$x_{61} = 58.1194640914112$$
$$x_{62} = -28.2743338823081$$
$$x_{63} = 48.6946861306418$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -34.5575191894877$$
$$x_{66} = -95.8185759344887$$
$$x_{67} = 81.6814089933346$$
$$x_{68} = -75.398223686155$$
$$x_{69} = -36.1283155162826$$
$$x_{70} = -91.106186954104$$
$$x_{71} = 94.2477796076938$$
$$x_{72} = 86.3937979737193$$
$$x_{73} = -59.6902604182061$$
$$x_{74} = 87.9645943005142$$
$$x_{75} = -56.5486677646163$$
$$x_{76} = -15.707963267949$$
$$x_{77} = -23.5619449019235$$
$$x_{78} = -12.5663706143592$$
$$x_{79} = -61.261056745001$$
$$x_{80} = -7.85398163397448$$
$$x_{81} = 67.5442420521806$$
$$x_{82} = 80.1106126665397$$
$$x_{83} = 6.28318530717959$$
$$x_{84} = 29.845130209103$$
$$x_{85} = 97.3893722612836$$
$$x_{86} = -50.2654824574367$$
$$x_{87} = -25.1327412287183$$
$$x_{88} = -73.8274273593601$$
$$x_{89} = 37.6991118430775$$
$$x_{90} = -86.3937979737193$$
$$x_{91} = 51.8362787842316$$
$$x_{92} = 43.9822971502571$$
$$x_{93} = 56.5486677646163$$
$$x_{94} = -45.553093477052$$
$$x_{95} = -65.9734457253857$$
$$x_{96} = 75.398223686155$$
$$x_{97} = -39.2699081698724$$
$$x_{98} = -31.4159265358979$$
$$x_{99} = 72.2566310325652$$
$$x_{100} = -58.1194640914112$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2}{x} - \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.05731518790035 \cdot 10^{-14}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1.05731518790035 \cdot 10^{-14}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1.05731518790035 \cdot 10^{-14}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.05731518790035 \cdot 10^{-14}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2}{x} - \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.05731518790035 \cdot 10^{-14}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1.0573151879003484e-14, 2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1.05731518790035 \cdot 10^{-14}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-1.05731518790035 \cdot 10^{-14}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1.05731518790035 \cdot 10^{-14}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(4 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -34.5647499747227$$
$$x_{2} = -31.4238795850742$$
$$x_{3} = -1.70345385344701$$
$$x_{4} = -23.5725441053903$$
$$x_{5} = -20.4325778560184$$
$$x_{6} = 92.6796806391247$$
$$x_{7} = 45.5585800365993$$
$$x_{8} = 70.6893710694627$$
$$x_{9} = -53.4117551818158$$
$$x_{10} = -91.108930812026$$
$$x_{11} = 97.3919391186353$$
$$x_{12} = -80.1137330680957$$
$$x_{13} = -45.5585800365993$$
$$x_{14} = 72.26009053615$$
$$x_{15} = 40.8468237012746$$
$$x_{16} = 43.9879795423184$$
$$x_{17} = -86.396691473835$$
$$x_{18} = -65.9772346210581$$
$$x_{19} = -29.8535013062402$$
$$x_{20} = 20.4325778560184$$
$$x_{21} = -9.45113176509331$$
$$x_{22} = -36.1352322065599$$
$$x_{23} = 75.401539073973$$
$$x_{24} = 73.8308132724072$$
$$x_{25} = -89.5381826161457$$
$$x_{26} = -56.5530879290695$$
$$x_{27} = -7.88551699226233$$
$$x_{28} = 4.7641136505727$$
$$x_{29} = 37.7057405793536$$
$$x_{30} = -3.21693803233743$$
$$x_{31} = -6.32240235152853$$
$$x_{32} = 14.1547994988746$$
$$x_{33} = 80.1137330680957$$
$$x_{34} = -12.5861920129716$$
$$x_{35} = 34.5647499747227$$
$$x_{36} = 12.5861920129716$$
$$x_{37} = -51.8411006147136$$
$$x_{38} = -67.5479428567926$$
$$x_{39} = 62.8358313576226$$
$$x_{40} = -61.2651370068557$$
$$x_{41} = -94.2504320159027$$
$$x_{42} = 6.32240235152853$$
$$x_{43} = -28.2831693809014$$
$$x_{44} = -72.26009053615$$
$$x_{45} = 87.9674361388446$$
$$x_{46} = 67.5479428567926$$
$$x_{47} = -25.1426792428098$$
$$x_{48} = 58.1237648337733$$
$$x_{49} = -95.8211848661661$$
$$x_{50} = -14.1547994988746$$
$$x_{51} = -15.7238413065886$$
$$x_{52} = 48.6998188986395$$
$$x_{53} = 28.2831693809014$$
$$x_{54} = 31.4238795850742$$
$$x_{55} = -22.0025031048686$$
$$x_{56} = -39.2762719612422$$
$$x_{57} = -78.5429991376474$$
$$x_{58} = 50.2704549016424$$
$$x_{59} = 56.5530879290695$$
$$x_{60} = -43.9879795423184$$
$$x_{61} = 89.5381826161457$$
$$x_{62} = 100.53345156734$$
$$x_{63} = 65.9772346210581$$
$$x_{64} = -75.401539073973$$
$$x_{65} = 42.4173935405436$$
$$x_{66} = 7.88551699226233$$
$$x_{67} = 22.0025031048686$$
$$x_{68} = 86.396691473835$$
$$x_{69} = -47.1291935757396$$
$$x_{70} = 94.2504320159027$$
$$x_{71} = -69.1186550951654$$
$$x_{72} = 15.7238413065886$$
$$x_{73} = -83.2552079908878$$
$$x_{74} = -97.3919391186353$$
$$x_{75} = 59.69444802068$$
$$x_{76} = -42.4173935405436$$
$$x_{77} = 23.5725441053903$$
$$x_{78} = 95.8211848661661$$
$$x_{79} = -59.69444802068$$
$$x_{80} = 26.7128919644683$$
$$x_{81} = -58.1237648337733$$
$$x_{82} = -100.53345156734$$
$$x_{83} = 78.5429991376474$$
$$x_{84} = -73.8308132724072$$
$$x_{85} = -81.6844693977618$$
$$x_{86} = 29.8535013062402$$
$$x_{87} = -87.9674361388446$$
$$x_{88} = 51.8411006147136$$
$$x_{89} = 36.1352322065599$$
$$x_{90} = 9.45113176509331$$
$$x_{91} = 1.70345385344701$$
$$x_{92} = 18.8627971275898$$
$$x_{93} = -37.7057405793536$$
$$x_{94} = -50.2704549016424$$
$$x_{95} = 84.825948721768$$
$$x_{96} = 81.6844693977618$$
$$x_{97} = -17.2932000627273$$
$$x_{98} = -64.4065306806787$$
$$x_{99} = 53.4117551818158$$
$$x_{100} = 64.4065306806787$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(4 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{16}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(4 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{16}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[100.53345156734, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1.70345385344701, 1.70345385344701\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(4 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -34.5647499747227$$
$$x_{2} = -31.4238795850742$$
$$x_{3} = -1.70345385344701$$
$$x_{4} = -23.5725441053903$$
$$x_{5} = -20.4325778560184$$
$$x_{6} = 92.6796806391247$$
$$x_{7} = 45.5585800365993$$
$$x_{8} = 70.6893710694627$$
$$x_{9} = -53.4117551818158$$
$$x_{10} = -91.108930812026$$
$$x_{11} = 97.3919391186353$$
$$x_{12} = -80.1137330680957$$
$$x_{13} = -45.5585800365993$$
$$x_{14} = 72.26009053615$$
$$x_{15} = 40.8468237012746$$
$$x_{16} = 43.9879795423184$$
$$x_{17} = -86.396691473835$$
$$x_{18} = -65.9772346210581$$
$$x_{19} = -29.8535013062402$$
$$x_{20} = 20.4325778560184$$
$$x_{21} = -9.45113176509331$$
$$x_{22} = -36.1352322065599$$
$$x_{23} = 75.401539073973$$
$$x_{24} = 73.8308132724072$$
$$x_{25} = -89.5381826161457$$
$$x_{26} = -56.5530879290695$$
$$x_{27} = -7.88551699226233$$
$$x_{28} = 4.7641136505727$$
$$x_{29} = 37.7057405793536$$
$$x_{30} = -3.21693803233743$$
$$x_{31} = -6.32240235152853$$
$$x_{32} = 14.1547994988746$$
$$x_{33} = 80.1137330680957$$
$$x_{34} = -12.5861920129716$$
$$x_{35} = 34.5647499747227$$
$$x_{36} = 12.5861920129716$$
$$x_{37} = -51.8411006147136$$
$$x_{38} = -67.5479428567926$$
$$x_{39} = 62.8358313576226$$
$$x_{40} = -61.2651370068557$$
$$x_{41} = -94.2504320159027$$
$$x_{42} = 6.32240235152853$$
$$x_{43} = -28.2831693809014$$
$$x_{44} = -72.26009053615$$
$$x_{45} = 87.9674361388446$$
$$x_{46} = 67.5479428567926$$
$$x_{47} = -25.1426792428098$$
$$x_{48} = 58.1237648337733$$
$$x_{49} = -95.8211848661661$$
$$x_{50} = -14.1547994988746$$
$$x_{51} = -15.7238413065886$$
$$x_{52} = 48.6998188986395$$
$$x_{53} = 28.2831693809014$$
$$x_{54} = 31.4238795850742$$
$$x_{55} = -22.0025031048686$$
$$x_{56} = -39.2762719612422$$
$$x_{57} = -78.5429991376474$$
$$x_{58} = 50.2704549016424$$
$$x_{59} = 56.5530879290695$$
$$x_{60} = -43.9879795423184$$
$$x_{61} = 89.5381826161457$$
$$x_{62} = 100.53345156734$$
$$x_{63} = 65.9772346210581$$
$$x_{64} = -75.401539073973$$
$$x_{65} = 42.4173935405436$$
$$x_{66} = 7.88551699226233$$
$$x_{67} = 22.0025031048686$$
$$x_{68} = 86.396691473835$$
$$x_{69} = -47.1291935757396$$
$$x_{70} = 94.2504320159027$$
$$x_{71} = -69.1186550951654$$
$$x_{72} = 15.7238413065886$$
$$x_{73} = -83.2552079908878$$
$$x_{74} = -97.3919391186353$$
$$x_{75} = 59.69444802068$$
$$x_{76} = -42.4173935405436$$
$$x_{77} = 23.5725441053903$$
$$x_{78} = 95.8211848661661$$
$$x_{79} = -59.69444802068$$
$$x_{80} = 26.7128919644683$$
$$x_{81} = -58.1237648337733$$
$$x_{82} = -100.53345156734$$
$$x_{83} = 78.5429991376474$$
$$x_{84} = -73.8308132724072$$
$$x_{85} = -81.6844693977618$$
$$x_{86} = 29.8535013062402$$
$$x_{87} = -87.9674361388446$$
$$x_{88} = 51.8411006147136$$
$$x_{89} = 36.1352322065599$$
$$x_{90} = 9.45113176509331$$
$$x_{91} = 1.70345385344701$$
$$x_{92} = 18.8627971275898$$
$$x_{93} = -37.7057405793536$$
$$x_{94} = -50.2704549016424$$
$$x_{95} = 84.825948721768$$
$$x_{96} = 81.6844693977618$$
$$x_{97} = -17.2932000627273$$
$$x_{98} = -64.4065306806787$$
$$x_{99} = 53.4117551818158$$
$$x_{100} = 64.4065306806787$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(4 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{16}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(4 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{16}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[100.53345156734, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1.70345385344701, 1.70345385344701\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(2*x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico