Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (x-arctg(2x))/x

Gráfico de la función y = (x-arctg(2x))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x - atan(2*x)
f(x) = -------------
             x
f(x)=x−atan⁡(2x)xf{\left(x \right)} = \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} 
f = (x - atan(2*x))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−atan⁡(2x)x=0\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−1.16556118520721x_{1} = -1.16556118520721
x2=1.16556118520721x_{2} = 1.16556118520721
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - atan(2*x))/x.
(−1)atan⁡(0⋅2)0\frac{\left(-1\right) \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 2 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−24x2+1x−x−atan⁡(2x)x2=0\frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x} - \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(8(4x2+1)2−1−24x2+1x2+x−atan⁡(2x)x3)=02 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=17154.8496093912x_{1} = 17154.8496093912
x2=−19566.1081803417x_{2} = -19566.1081803417
x3=19697.3260971377x_{3} = 19697.3260971377
x4=16307.3811680521x_{4} = 16307.3811680521
x5=30715.3735810553x_{5} = 30715.3735810553
x6=29020.249035495x_{6} = 29020.249035495
x7=−28889.0228738707x_{7} = -28889.0228738707
x8=28172.6905893722x_{8} = 28172.6905893722
x9=23087.4114110973x_{9} = 23087.4114110973
x10=34105.6479144478x_{10} = 34105.6479144478
x11=−32279.2794423922x_{11} = -32279.2794423922
x12=−18718.6072010202x_{12} = -18718.6072010202
x13=−15328.7196680046x_{13} = -15328.7196680046
x14=37495.9482372872x_{14} = 37495.9482372872
x15=40886.2680383924x_{15} = 40886.2680383924
x16=39191.1060213421x_{16} = 39191.1060213421
x17=38343.5265648352x_{17} = 38343.5265648352
x18=41733.8504719762x_{18} = 41733.8504719762
x19=36648.3711176498x_{19} = 36648.3711176498
x20=−27193.9097461941x_{20} = -27193.9097461941
x21=−33126.8487587679x_{21} = -33126.8487587679
x22=15459.9279005977x_{22} = 15459.9279005977
x23=−37364.7192890114x_{23} = -37364.7192890114
x24=31562.9392656591x_{24} = 31562.9392656591
x25=42581.4337794408x_{25} = 42581.4337794408
x26=−39059.8767224905x_{26} = -39059.8767224905
x27=35800.7952924122x_{27} = 35800.7952924122
x28=−28041.4648541161x_{28} = -28041.4648541161
x29=25630.0336293753x_{29} = 25630.0336293753
x30=−30584.1466713136x_{30} = -30584.1466713136
x31=29867.8101058239x_{31} = 29867.8101058239
x32=−23803.7247300519x_{32} = -23803.7247300519
x33=13765.0783402001x_{33} = 13765.0783402001
x34=−42450.2039018375x_{34} = -42450.2039018375
x35=40038.6865345901x_{35} = 40038.6865345901
x36=−35669.5667462001x_{36} = -35669.5667462001
x37=−29736.5835540329x_{37} = -29736.5835540329
x38=34953.2208565225x_{38} = 34953.2208565225
x39=−33974.4198323863x_{39} = -33974.4198323863
x40=24782.4884954453x_{40} = 24782.4884954453
x41=−22956.1893162643x_{41} = -22956.1893162643
x42=−24651.2649324947x_{42} = -24651.2649324947
x43=−14481.2873067429x_{43} = -14481.2873067429
x44=−20413.6178571567x_{44} = -20413.6178571567
x45=18849.8236987768x_{45} = 18849.8236987768
x46=−26346.3578342418x_{46} = -26346.3578342418
x47=33258.076581398x_{47} = 33258.076581398
x48=14612.4925008121x_{48} = 14612.4925008121
x49=−40755.0384320226x_{49} = -40755.0384320226
x50=−17023.6366209311x_{50} = -17023.6366209311
x51=21392.3554347137x_{51} = 21392.3554347137
x52=−36517.1423633654x_{52} = -36517.1423633654
x53=−13633.8767787572x_{53} = -13633.8767787572
x54=20544.8370180755x_{54} = 20544.8370180755
x55=18002.3310464122x_{55} = 18002.3310464122
x56=32410.5069847427x_{56} = 32410.5069847427
x57=−39907.4570770544x_{57} = -39907.4570770544
x58=−16176.170368212x_{58} = -16176.170368212
x59=22239.8804787742x_{59} = 22239.8804787742
x60=−38212.2974354065x_{60} = -38212.2974354065
x61=−25498.8094406069x_{61} = -25498.8094406069
x62=−21261.135176979x_{62} = -21261.135176979
x63=−22108.6592491612x_{63} = -22108.6592491612
x64=26477.5825889113x_{64} = 26477.5825889113
x65=−34821.99253386x_{65} = -34821.99253386
x66=−31431.7120267314x_{66} = -31431.7120267314
x67=27325.1350142595x_{67} = 27325.1350142595
x68=−41602.6207258237x_{68} = -41602.6207258237
x69=23934.9475985011x_{69} = 23934.9475985011
x70=−17871.1161770063x_{70} = -17871.1161770063
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(8(4x2+1)2−1−24x2+1x2+x−atan⁡(2x)x3))=163\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{16}{3}
lim⁡x→0+(2(8(4x2+1)2−1−24x2+1x2+x−atan⁡(2x)x3))=163\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{16}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−atan⁡(2x)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x−atan⁡(2x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - atan(2*x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−atan⁡(2x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−atan⁡(2x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−atan⁡(2x)x=−−x+atan⁡(2x)x\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}
- No
x−atan⁡(2x)x=−x+atan⁡(2x)x\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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