Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- (x-arctg(2x))/x
- (x menos arctg(2x)) dividir por x
- x-arctg2x/x
- (x-arctg(2x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (x+arctg(2x))/x
-
Expresiones con funciones
- arctg
- arctg(x)-0,5ln(1+x^2)
- arctg(ctg(x))
- arctg((x^2)/2)
- arctg(2x)/x
- arctg(1/(x^4-1))
Gráfico de la función y = (x-arctg(2x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
x - atan(2*x)
f(x) = -------------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}$$
f = (x - atan(2*x))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = -1.16556118520721$$
$$x_{2} = 1.16556118520721$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = -1.16556118520721$$
$$x_{2} = 1.16556118520721$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x} - \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x} - \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 17154.8496093912$$
$$x_{2} = -19566.1081803417$$
$$x_{3} = 19697.3260971377$$
$$x_{4} = 16307.3811680521$$
$$x_{5} = 30715.3735810553$$
$$x_{6} = 29020.249035495$$
$$x_{7} = -28889.0228738707$$
$$x_{8} = 28172.6905893722$$
$$x_{9} = 23087.4114110973$$
$$x_{10} = 34105.6479144478$$
$$x_{11} = -32279.2794423922$$
$$x_{12} = -18718.6072010202$$
$$x_{13} = -15328.7196680046$$
$$x_{14} = 37495.9482372872$$
$$x_{15} = 40886.2680383924$$
$$x_{16} = 39191.1060213421$$
$$x_{17} = 38343.5265648352$$
$$x_{18} = 41733.8504719762$$
$$x_{19} = 36648.3711176498$$
$$x_{20} = -27193.9097461941$$
$$x_{21} = -33126.8487587679$$
$$x_{22} = 15459.9279005977$$
$$x_{23} = -37364.7192890114$$
$$x_{24} = 31562.9392656591$$
$$x_{25} = 42581.4337794408$$
$$x_{26} = -39059.8767224905$$
$$x_{27} = 35800.7952924122$$
$$x_{28} = -28041.4648541161$$
$$x_{29} = 25630.0336293753$$
$$x_{30} = -30584.1466713136$$
$$x_{31} = 29867.8101058239$$
$$x_{32} = -23803.7247300519$$
$$x_{33} = 13765.0783402001$$
$$x_{34} = -42450.2039018375$$
$$x_{35} = 40038.6865345901$$
$$x_{36} = -35669.5667462001$$
$$x_{37} = -29736.5835540329$$
$$x_{38} = 34953.2208565225$$
$$x_{39} = -33974.4198323863$$
$$x_{40} = 24782.4884954453$$
$$x_{41} = -22956.1893162643$$
$$x_{42} = -24651.2649324947$$
$$x_{43} = -14481.2873067429$$
$$x_{44} = -20413.6178571567$$
$$x_{45} = 18849.8236987768$$
$$x_{46} = -26346.3578342418$$
$$x_{47} = 33258.076581398$$
$$x_{48} = 14612.4925008121$$
$$x_{49} = -40755.0384320226$$
$$x_{50} = -17023.6366209311$$
$$x_{51} = 21392.3554347137$$
$$x_{52} = -36517.1423633654$$
$$x_{53} = -13633.8767787572$$
$$x_{54} = 20544.8370180755$$
$$x_{55} = 18002.3310464122$$
$$x_{56} = 32410.5069847427$$
$$x_{57} = -39907.4570770544$$
$$x_{58} = -16176.170368212$$
$$x_{59} = 22239.8804787742$$
$$x_{60} = -38212.2974354065$$
$$x_{61} = -25498.8094406069$$
$$x_{62} = -21261.135176979$$
$$x_{63} = -22108.6592491612$$
$$x_{64} = 26477.5825889113$$
$$x_{65} = -34821.99253386$$
$$x_{66} = -31431.7120267314$$
$$x_{67} = 27325.1350142595$$
$$x_{68} = -41602.6207258237$$
$$x_{69} = 23934.9475985011$$
$$x_{70} = -17871.1161770063$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{16}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{16}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 17154.8496093912$$
$$x_{2} = -19566.1081803417$$
$$x_{3} = 19697.3260971377$$
$$x_{4} = 16307.3811680521$$
$$x_{5} = 30715.3735810553$$
$$x_{6} = 29020.249035495$$
$$x_{7} = -28889.0228738707$$
$$x_{8} = 28172.6905893722$$
$$x_{9} = 23087.4114110973$$
$$x_{10} = 34105.6479144478$$
$$x_{11} = -32279.2794423922$$
$$x_{12} = -18718.6072010202$$
$$x_{13} = -15328.7196680046$$
$$x_{14} = 37495.9482372872$$
$$x_{15} = 40886.2680383924$$
$$x_{16} = 39191.1060213421$$
$$x_{17} = 38343.5265648352$$
$$x_{18} = 41733.8504719762$$
$$x_{19} = 36648.3711176498$$
$$x_{20} = -27193.9097461941$$
$$x_{21} = -33126.8487587679$$
$$x_{22} = 15459.9279005977$$
$$x_{23} = -37364.7192890114$$
$$x_{24} = 31562.9392656591$$
$$x_{25} = 42581.4337794408$$
$$x_{26} = -39059.8767224905$$
$$x_{27} = 35800.7952924122$$
$$x_{28} = -28041.4648541161$$
$$x_{29} = 25630.0336293753$$
$$x_{30} = -30584.1466713136$$
$$x_{31} = 29867.8101058239$$
$$x_{32} = -23803.7247300519$$
$$x_{33} = 13765.0783402001$$
$$x_{34} = -42450.2039018375$$
$$x_{35} = 40038.6865345901$$
$$x_{36} = -35669.5667462001$$
$$x_{37} = -29736.5835540329$$
$$x_{38} = 34953.2208565225$$
$$x_{39} = -33974.4198323863$$
$$x_{40} = 24782.4884954453$$
$$x_{41} = -22956.1893162643$$
$$x_{42} = -24651.2649324947$$
$$x_{43} = -14481.2873067429$$
$$x_{44} = -20413.6178571567$$
$$x_{45} = 18849.8236987768$$
$$x_{46} = -26346.3578342418$$
$$x_{47} = 33258.076581398$$
$$x_{48} = 14612.4925008121$$
$$x_{49} = -40755.0384320226$$
$$x_{50} = -17023.6366209311$$
$$x_{51} = 21392.3554347137$$
$$x_{52} = -36517.1423633654$$
$$x_{53} = -13633.8767787572$$
$$x_{54} = 20544.8370180755$$
$$x_{55} = 18002.3310464122$$
$$x_{56} = 32410.5069847427$$
$$x_{57} = -39907.4570770544$$
$$x_{58} = -16176.170368212$$
$$x_{59} = 22239.8804787742$$
$$x_{60} = -38212.2974354065$$
$$x_{61} = -25498.8094406069$$
$$x_{62} = -21261.135176979$$
$$x_{63} = -22108.6592491612$$
$$x_{64} = 26477.5825889113$$
$$x_{65} = -34821.99253386$$
$$x_{66} = -31431.7120267314$$
$$x_{67} = 27325.1350142595$$
$$x_{68} = -41602.6207258237$$
$$x_{69} = 23934.9475985011$$
$$x_{70} = -17871.1161770063$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{16}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{x^{2}} + \frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = \frac{16}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - atan(2*x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{- x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar