Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- cos(uno / dos *x)+ uno
- coseno de (1 dividir por 2 multiplicar por x) más 1
- coseno de (uno dividir por dos multiplicar por x) más uno
- cos(1/2x)+1
- cos1/2x+1
- cos(1 dividir por 2*x)+1
-
Expresiones semejantes
- cos(1/2*x)-1
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(2acos(x))
- cos(x)+2/x
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
Gráfico de la función y = cos(1/2*x)+1
Solución
Ha introducido
[src]
/x\
f(x) = cos|-| + 1
\2/
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1$$
f = cos(x/2) + 1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 18.8495549415754$$
$$x_{2} = 18.8495561010751$$
$$x_{3} = 69.115037955532$$
$$x_{4} = 43.9822979229286$$
$$x_{5} = 94.2477803922665$$
$$x_{6} = -81.6814082319334$$
$$x_{7} = 69.1150373651011$$
$$x_{8} = -56.5486687887842$$
$$x_{9} = 81.681409932803$$
$$x_{10} = -94.2477790629797$$
$$x_{11} = -31.4159255258029$$
$$x_{12} = 94.2477805288104$$
$$x_{13} = -94.2477802857943$$
$$x_{14} = -56.548667456373$$
$$x_{15} = 81.6814094388795$$
$$x_{16} = 973.893720162307$$
$$x_{17} = -69.1150378269834$$
$$x_{18} = -6.28318627375063$$
$$x_{19} = 6.28318454684724$$
$$x_{20} = -69.115038701061$$
$$x_{21} = -94.2477805989545$$
$$x_{22} = 94.2477787666659$$
$$x_{23} = -56.5486683277755$$
$$x_{24} = -31.4159269573538$$
$$x_{25} = 18.8495556154405$$
$$x_{26} = -43.982296295854$$
$$x_{27} = 69.115038835587$$
$$x_{28} = -31.4159267183799$$
$$x_{29} = -69.1150380827831$$
$$x_{30} = 81.6814091930517$$
$$x_{31} = 94.2477796093523$$
$$x_{32} = -56.5486667805662$$
$$x_{33} = -43.9822971745293$$
$$x_{34} = 69.1150368714384$$
$$x_{35} = 56.5486675992574$$
$$x_{36} = 81.6814079898679$$
$$x_{37} = 43.982297169474$$
$$x_{38} = 18.8495569537229$$
$$x_{39} = 81.6814083413212$$
$$x_{40} = -69.115037346238$$
$$x_{41} = -69.1150393645777$$
$$x_{42} = -18.8495543136467$$
$$x_{43} = -18.8495572113627$$
$$x_{44} = 6.28318528419795$$
$$x_{45} = -6.28318480992034$$
$$x_{46} = 31.415926404003$$
$$x_{47} = 31.4159268602638$$
$$x_{48} = 56.5486681672153$$
$$x_{49} = -18.8495563601837$$
$$x_{50} = 56.5486668446775$$
$$x_{51} = -43.9822979202134$$
$$x_{52} = -81.68140804614$$
$$x_{53} = -31.4159267991785$$
$$x_{54} = 56.5486672894687$$
$$x_{55} = -6.28318512498487$$
$$x_{56} = 6.28318445599649$$
$$x_{57} = -81.6814097251289$$
$$x_{58} = -69.1150405916551$$
$$x_{59} = 18.8495554920234$$
$$x_{60} = -18.8495569383691$$
$$x_{61} = -81.6814098544517$$
$$x_{62} = 43.9822963919738$$
$$x_{63} = 56.5486684458067$$
$$x_{64} = 18.8495564877336$$
$$x_{65} = -31.4159258676764$$
$$x_{66} = 31.4159255107699$$
$$x_{67} = -43.9822963521153$$
$$x_{68} = -6.28318437561383$$
$$x_{69} = 69.1150397628024$$
$$x_{70} = -56.5486677946696$$
$$x_{71} = -18.8495548993085$$
$$x_{72} = -6.28318500560576$$
$$x_{73} = -18.8495554800568$$
$$x_{74} = -31.4159274639505$$
$$x_{75} = -420.973417050673$$
$$x_{76} = -43.9822980632848$$
$$x_{77} = 43.9822962232996$$
$$x_{78} = 81.6814069775521$$
$$x_{79} = 69.1150394039813$$
$$x_{80} = 43.9822980146158$$
$$x_{81} = -81.6814090382823$$
$$x_{82} = 94.2477788210844$$
$$x_{83} = 6.28318624191326$$
$$x_{84} = -6.28318597231491$$
$$x_{85} = -94.2477786842917$$
$$x_{86} = 31.4159259869291$$
$$x_{87} = 6.28318608026041$$
$$x_{88} = -94.2477794433785$$
$$x_{89} = 56.548668769019$$
$$x_{90} = -6.28318630492991$$
$$x_{91} = 31.4159275256971$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 18.8495549415754$$
$$x_{2} = 18.8495561010751$$
$$x_{3} = 69.115037955532$$
$$x_{4} = 43.9822979229286$$
$$x_{5} = 94.2477803922665$$
$$x_{6} = -81.6814082319334$$
$$x_{7} = 69.1150373651011$$
$$x_{8} = -56.5486687887842$$
$$x_{9} = 81.681409932803$$
$$x_{10} = -94.2477790629797$$
$$x_{11} = -31.4159255258029$$
$$x_{12} = 94.2477805288104$$
$$x_{13} = -94.2477802857943$$
$$x_{14} = -56.548667456373$$
$$x_{15} = 81.6814094388795$$
$$x_{16} = 973.893720162307$$
$$x_{17} = -69.1150378269834$$
$$x_{18} = -6.28318627375063$$
$$x_{19} = 6.28318454684724$$
$$x_{20} = -69.115038701061$$
$$x_{21} = -94.2477805989545$$
$$x_{22} = 94.2477787666659$$
$$x_{23} = -56.5486683277755$$
$$x_{24} = -31.4159269573538$$
$$x_{25} = 18.8495556154405$$
$$x_{26} = -43.982296295854$$
$$x_{27} = 69.115038835587$$
$$x_{28} = -31.4159267183799$$
$$x_{29} = -69.1150380827831$$
$$x_{30} = 81.6814091930517$$
$$x_{31} = 94.2477796093523$$
$$x_{32} = -56.5486667805662$$
$$x_{33} = -43.9822971745293$$
$$x_{34} = 69.1150368714384$$
$$x_{35} = 56.5486675992574$$
$$x_{36} = 81.6814079898679$$
$$x_{37} = 43.982297169474$$
$$x_{38} = 18.8495569537229$$
$$x_{39} = 81.6814083413212$$
$$x_{40} = -69.115037346238$$
$$x_{41} = -69.1150393645777$$
$$x_{42} = -18.8495543136467$$
$$x_{43} = -18.8495572113627$$
$$x_{44} = 6.28318528419795$$
$$x_{45} = -6.28318480992034$$
$$x_{46} = 31.415926404003$$
$$x_{47} = 31.4159268602638$$
$$x_{48} = 56.5486681672153$$
$$x_{49} = -18.8495563601837$$
$$x_{50} = 56.5486668446775$$
$$x_{51} = -43.9822979202134$$
$$x_{52} = -81.68140804614$$
$$x_{53} = -31.4159267991785$$
$$x_{54} = 56.5486672894687$$
$$x_{55} = -6.28318512498487$$
$$x_{56} = 6.28318445599649$$
$$x_{57} = -81.6814097251289$$
$$x_{58} = -69.1150405916551$$
$$x_{59} = 18.8495554920234$$
$$x_{60} = -18.8495569383691$$
$$x_{61} = -81.6814098544517$$
$$x_{62} = 43.9822963919738$$
$$x_{63} = 56.5486684458067$$
$$x_{64} = 18.8495564877336$$
$$x_{65} = -31.4159258676764$$
$$x_{66} = 31.4159255107699$$
$$x_{67} = -43.9822963521153$$
$$x_{68} = -6.28318437561383$$
$$x_{69} = 69.1150397628024$$
$$x_{70} = -56.5486677946696$$
$$x_{71} = -18.8495548993085$$
$$x_{72} = -6.28318500560576$$
$$x_{73} = -18.8495554800568$$
$$x_{74} = -31.4159274639505$$
$$x_{75} = -420.973417050673$$
$$x_{76} = -43.9822980632848$$
$$x_{77} = 43.9822962232996$$
$$x_{78} = 81.6814069775521$$
$$x_{79} = 69.1150394039813$$
$$x_{80} = 43.9822980146158$$
$$x_{81} = -81.6814090382823$$
$$x_{82} = 94.2477788210844$$
$$x_{83} = 6.28318624191326$$
$$x_{84} = -6.28318597231491$$
$$x_{85} = -94.2477786842917$$
$$x_{86} = 31.4159259869291$$
$$x_{87} = 6.28318608026041$$
$$x_{88} = -94.2477794433785$$
$$x_{89} = 56.548668769019$$
$$x_{90} = -6.28318630492991$$
$$x_{91} = 31.4159275256971$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, 2 \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
(2*pi, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, 2 \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/2) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1$$
- Sí
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
es
par