Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /    ___\      /    ___\
f(x) = cos\x*\/ 5 / + sin\x*\/ 5 /
f(x)=sin(5x)+cos(5x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}
f = sin(sqrt(5)*x) + cos(sqrt(5)*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin(5x)+cos(5x)=0\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5π20x_{1} = - \frac{\sqrt{5} \pi}{20}
Solución numérica
x1=69.8969065738552x_{1} = 69.8969065738552
x2=76.2192398317919x_{2} = -76.2192398317919
x3=48.119980907629x_{3} = -48.119980907629
x4=96.59120255181x_{4} = 96.59120255181
x5=40.3926847034842x_{5} = 40.3926847034842
x6=26.3430552414027x_{6} = 26.3430552414027
x7=46.0125364883168x_{7} = 46.0125364883168
x8=13.6983887255294x_{8} = 13.6983887255294
x9=5.97109252138462x_{9} = -5.97109252138462
x10=11.5909443062172x_{10} = -11.5909443062172
x11=100.806091390434x_{11} = 100.806091390434
x12=77.624202778x_{12} = -77.624202778
x13=109.235869067683x_{13} = 109.235869067683
x14=74.1117954124797x_{14} = 74.1117954124797
x15=89.5663878207693x_{15} = 89.5663878207693
x16=88.1614248745611x_{16} = 88.1614248745611
x17=37.5827588110679x_{17} = 37.5827588110679
x18=22.1281664027783x_{18} = 22.1281664027783
x19=66.3844992083349x_{19} = -66.3844992083349
x20=31.9629070262353x_{20} = 31.9629070262353
x21=91.6738322400815x_{21} = -91.6738322400815
x22=76.921721304896x_{22} = 76.921721304896
x23=68.4919436276471x_{23} = 68.4919436276471
x24=57.954721531086x_{24} = -57.954721531086
x25=16.5083146179457x_{25} = 16.5083146179457
x26=60.0621659503982x_{26} = 60.0621659503982
x27=15.8058331448416x_{27} = -15.8058331448416
x28=72.0043509931674x_{28} = -72.0043509931674
x29=93.7812766593937x_{29} = 93.7812766593937
x30=20.0207219834661x_{30} = -20.0207219834661
x31=8.07853694069684x_{31} = 8.07853694069684
x32=34.0703514455475x_{32} = -34.0703514455475
x33=41.7976476496923x_{33} = 41.7976476496923
x34=59.3596844772941x_{34} = -59.3596844772941
x35=29.8554626069231x_{35} = -29.8554626069231
x36=27.7480181876109x_{36} = 27.7480181876109
x37=83.9465360359367x_{37} = 83.9465360359367
x38=90.2688692938733x_{38} = -90.2688692938733
x39=51.6323882731493x_{39} = 51.6323882731493
x40=7.37605546759276x_{40} = -7.37605546759276
x41=79.7316471973122x_{41} = 79.7316471973122
x42=50.2274253269412x_{42} = 50.2274253269412
x43=12.2934257793213x_{43} = 12.2934257793213
x44=45.3100550152127x_{44} = -45.3100550152127
x45=73.4093139393756x_{45} = -73.4093139393756
x46=49.5249438538371x_{46} = -49.5249438538371
x47=28.4504996607149x_{47} = -28.4504996607149
x48=53.7398326924616x_{48} = -53.7398326924616
x49=97.9961654980181x_{49} = 97.9961654980181
x50=52.3348697462534x_{50} = -52.3348697462534
x51=23.5331293489864x_{51} = 23.5331293489864
x52=39.6902032303801x_{52} = -39.6902032303801
x53=1.75620368276018x_{53} = -1.75620368276018
x54=43.9050920690045x_{54} = -43.9050920690045
x55=6.67357399448869x_{55} = 6.67357399448869
x56=63.5745733159186x_{56} = -63.5745733159186
x57=3.8636481020724x_{57} = 3.8636481020724
x58=95.8887210787059x_{58} = -95.8887210787059
x59=100.10360991733x_{59} = -100.10360991733
x60=44.6075735421086x_{60} = 44.6075735421086
x61=38.285240284172x_{61} = -38.285240284172
x62=80.4341286704163x_{62} = -80.4341286704163
x63=92.3763137131856x_{63} = 92.3763137131856
x64=62.1696103697104x_{64} = -62.1696103697104
x65=82.5415730897285x_{65} = 82.5415730897285
x66=86.0539804552489x_{66} = -86.0539804552489
x67=36.1777958648597x_{67} = 36.1777958648597
x68=35.4753143917557x_{68} = -35.4753143917557
x69=21.4256849296742x_{69} = -21.4256849296742
x70=87.458943401457x_{70} = -87.458943401457
x71=64.2770547890226x_{71} = 64.2770547890226
x72=55.8472771117738x_{72} = 55.8472771117738
x73=58.6572030041901x_{73} = 58.6572030041901
x74=65.6820177352308x_{74} = 65.6820177352308
x75=25.6405737682987x_{75} = -25.6405737682987
x76=17.9132775641539x_{76} = 17.9132775641539
x77=14.4008701986335x_{77} = -14.4008701986335
x78=7429.09281881212x_{78} = 7429.09281881212
x79=30.5579440800272x_{79} = 30.5579440800272
x80=78.3266842511041x_{80} = 78.3266842511041
x81=2.45868515586425x_{81} = 2.45868515586425
x82=67.789462154543x_{82} = -67.789462154543
x83=54.4423141655656x_{83} = 54.4423141655656
x84=10.1859813600091x_{84} = -10.1859813600091
x85=110.640832013891x_{85} = 110.640832013891
x86=24.2356108220905x_{86} = -24.2356108220905
x87=81.8390916166245x_{87} = -81.8390916166245
x88=0.351240736552036x_{88} = -0.351240736552036
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x*sqrt(5)) + sin(x*sqrt(5)).
sin(05)+cos(05)\sin{\left(0 \sqrt{5} \right)} + \cos{\left(0 \sqrt{5} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
5sin(5x)+5cos(5x)=0- \sqrt{5} \sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \sqrt{5} \cos{\left(\sqrt{5} x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5π20x_{1} = \frac{\sqrt{5} \pi}{20}
Signos de extremos en los puntos:
      ___        
 pi*\/ 5     ___ 
(--------, \/ 2 )
    20           


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=5π20x_{1} = \frac{\sqrt{5} \pi}{20}
Decrece en los intervalos
(,5π20]\left(-\infty, \frac{\sqrt{5} \pi}{20}\right]
Crece en los intervalos
[5π20,)\left[\frac{\sqrt{5} \pi}{20}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
5(sin(5x)+cos(5x))=0- 5 \left(\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5π20x_{1} = - \frac{\sqrt{5} \pi}{20}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(,5π20]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{5} \pi}{20}\right]
Convexa en los intervalos
[5π20,)\left[- \frac{\sqrt{5} \pi}{20}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(sin(5x)+cos(5x))=2,2\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2,2y = \left\langle -2, 2\right\rangle
limx(sin(5x)+cos(5x))=2,2\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2,2y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x*sqrt(5)) + sin(x*sqrt(5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(sin(5x)+cos(5x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(sin(5x)+cos(5x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin(5x)+cos(5x)=sin(5x)+cos(5x)\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)} = - \sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}
- No
sin(5x)+cos(5x)=sin(5x)cos(5x)\sin{\left(\sqrt{5} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{5} x \right)} = \sin{\left(\sqrt{5} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{5} x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar