El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: sin(5x)+cos(5x)=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en cos(x*sqrt(5)) + sin(x*sqrt(5)). sin(05)+cos(05) Resultado: f(0)=1 Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −5sin(5x)+5cos(5x)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=205π Signos de extremos en los puntos:
___
pi*\/ 5 ___
(--------, \/ 2 )
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Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: La función no tiene puntos mínimos Puntos máximos de la función: x1=205π Decrece en los intervalos (−∞,205π] Crece en los intervalos [205π,∞)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada −5(sin(5x)+cos(5x))=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−205π
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos (−∞,−205π] Convexa en los intervalos [−205π,∞)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim(sin(5x)+cos(5x))=⟨−2,2⟩ Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda: y=⟨−2,2⟩ x→∞lim(sin(5x)+cos(5x))=⟨−2,2⟩ Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota horizontal a la derecha: y=⟨−2,2⟩
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x*sqrt(5)) + sin(x*sqrt(5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(xsin(5x)+cos(5x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha x→∞lim(xsin(5x)+cos(5x))=0 Tomamos como el límite es decir, la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: sin(5x)+cos(5x)=−sin(5x)+cos(5x) - No sin(5x)+cos(5x)=sin(5x)−cos(5x) - No es decir, función no es par ni impar