Sr Examen

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x^4+e^4+cos(4*x)+10
Trazado el gráfico de la función/ x^4+e^4+cos(4*x)+10

Gráfico de la función y = x^4+e^4+cos(4*x)+10

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4    4                
f(x) = x  + E  + cos(4*x) + 10
f(x)=((x4+e4)+cos⁡(4x))+10f{\left(x \right)} = \left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10 
f = x^4 + E^4 + cos(4*x) + 10
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x4+e4)+cos⁡(4x))+10=0\left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 + E^4 + cos(4*x) + 10.
10+(cos⁡(0⋅4)+(04+e4))10 + \left(\cos{\left(0 \cdot 4 \right)} + \left(0^{4} + e^{4}\right)\right)
Resultado:
f(0)=11+e4f{\left(0 \right)} = 11 + e^{4}
Punto:
(0, 11 + exp(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−4sin⁡(4x)=04 x^{3} - 4 \sin{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=0.698468550820161x_{2} = 0.698468550820161
x3=−0.698468550820161x_{3} = -0.698468550820161
Signos de extremos en los puntos:
            4 
(0, 11 + E )

                                         4 
(0.6984685508201607, 9.29785313134487 + E )

                                          4 
(-0.6984685508201607, 9.29785313134487 + E )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.698468550820161x_{1} = 0.698468550820161
x2=−0.698468550820161x_{2} = -0.698468550820161
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−0.698468550820161,0]∪[0.698468550820161,∞)\left[-0.698468550820161, 0\right] \cup \left[0.698468550820161, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.698468550820161]∪[0,0.698468550820161]\left(-\infty, -0.698468550820161\right] \cup \left[0, 0.698468550820161\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2−4cos⁡(4x))=04 \left(3 x^{2} - 4 \cos{\left(4 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.367352903215482x_{1} = -0.367352903215482
x2=0.367352903215482x_{2} = 0.367352903215482

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−0.367352903215482]∪[0.367352903215482,∞)\left(-\infty, -0.367352903215482\right] \cup \left[0.367352903215482, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−0.367352903215482,0.367352903215482]\left[-0.367352903215482, 0.367352903215482\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((x4+e4)+cos⁡(4x))+10)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((x4+e4)+cos⁡(4x))+10)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 + E^4 + cos(4*x) + 10, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x4+e4)+cos⁡(4x))+10x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((x4+e4)+cos⁡(4x))+10x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x4+e4)+cos⁡(4x))+10=((x4+e4)+cos⁡(4x))+10\left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10 = \left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10
- Sí
((x4+e4)+cos⁡(4x))+10=((−x4−e4)−cos⁡(4x))−10\left(\left(x^{4} + e^{4}\right) + \cos{\left(4 x \right)}\right) + 10 = \left(\left(- x^{4} - e^{4}\right) - \cos{\left(4 x \right)}\right) - 10
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4+e^4+cos(4*x)+10
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