Sr Examen

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Gráfico de la función y = 3**(sqrt(x-1))+3+4*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          _______          
        \/ x - 1           
f(x) = 3          + 3 + 4*x
f(x)=4x+(3x1+3)f{\left(x \right)} = 4 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right)
f = 4*x + 3^(sqrt(x - 1)) + 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4x+(3x1+3)=04 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3^(sqrt(x - 1)) + 3 + 4*x.
04+(3+31)0 \cdot 4 + \left(3 + 3^{\sqrt{-1}}\right)
Resultado:
f(0)=3+3if{\left(0 \right)} = 3 + 3^{i}
Punto:
(0, 3 + 3^i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x1log(3)2x1+4=0\frac{3^{\sqrt{x - 1}} \log{\left(3 \right)}}{2 \sqrt{x - 1}} + 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3x1(log(3)x11(x1)32)log(3)4=0\frac{3^{\sqrt{x - 1}} \left(\frac{\log{\left(3 \right)}}{x - 1} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) \log{\left(3 \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1log(3)2+1x_{1} = \frac{1}{\log{\left(3 \right)}^{2}} + 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1log(3)2+1,)\left[\frac{1}{\log{\left(3 \right)}^{2}} + 1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,1log(3)2+1]\left(-\infty, \frac{1}{\log{\left(3 \right)}^{2}} + 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
limx(4x+(3x1+3))\lim_{x \to -\infty}\left(4 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right)\right)
limx(4x+(3x1+3))=\lim_{x \to \infty}\left(4 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3^(sqrt(x - 1)) + 3 + 4*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
limx(4x+(3x1+3)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right)}{x}\right)
limx(4x+(3x1+3)x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4x+(3x1+3)=3x14x+34 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right) = 3^{\sqrt{- x - 1}} - 4 x + 3
- No
4x+(3x1+3)=3x1+4x34 x + \left(3^{\sqrt{x - 1}} + 3\right) = - 3^{\sqrt{- x - 1}} + 4 x - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar