Sr Examen

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2sinx+cos2x
Trazado el gráfico de la función/ 2sinx+cos2x

Gráfico de la función y = 2sinx+cos2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*sin(x) + cos(2*x)
f(x)=2sin⁡(x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} 
f = 2*sin(x) + cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)+cos⁡(2x)=02 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−53.0323406783177x_{1} = -53.0323406783177
x2=116.613662615531x_{2} = 116.613662615531
x3=−65.5987112926769x_{3} = -65.5987112926769
x4=91.4809213868127x_{4} = 91.4809213868127
x5=78.9145507724536x_{5} = 78.9145507724536
x6=−63.2065875045046x_{6} = -63.2065875045046
x7=−44.3570315829658x_{7} = -44.3570315829658
x8=−94.6225140404025x_{8} = -94.6225140404025
x9=−0.37473443270874x_{9} = -0.37473443270874
x10=−88.339328733223x_{10} = -88.339328733223
x11=−12.9411050470679x_{11} = -12.9411050470679
x12=9.79951239347812x_{12} = 9.79951239347812
x13=−38.0738462757863x_{13} = -38.0738462757863
x14=62.4571186390871x_{14} = 62.4571186390871
x15=5.90845087447085x_{15} = 5.90845087447085
x16=−84.4482672142157x_{16} = -84.4482672142157
x17=87.5898598678055x_{17} = 87.5898598678055
x18=−1372.50125518603x_{18} = -1372.50125518603
x19=28.6490683150169x_{19} = 28.6490683150169
x20=−97.0146378285748x_{20} = -97.0146378285748
x21=−21.6164141424198x_{21} = -21.6164141424198
x22=53.7818095437352x_{22} = 53.7818095437352
x23=100.156230482165x_{23} = 100.156230482165
x24=−40.4659700639586x_{24} = -40.4659700639586
x25=85.1977360796332x_{25} = 85.1977360796332
x26=41.215438929376x_{26} = 41.215438929376
x27=18.47482148883x_{27} = 18.47482148883
x28=−31.7906609686067x_{28} = -31.7906609686067
x29=12.1916361816504x_{29} = 12.1916361816504
x30=43.6075627175484x_{30} = 43.6075627175484
x31=37.3243774103688x_{31} = 37.3243774103688
x32=−56.923402197325x_{32} = -56.923402197325
x33=−78.1650819070361x_{33} = -78.1650819070361
x34=−34.182784756779x_{34} = -34.182784756779
x35=66.3481801580944x_{35} = 66.3481801580944
x36=−6.65791973988833x_{36} = -6.65791973988833
x37=93.8730451749851x_{37} = 93.8730451749851
x38=47.4986242365556x_{38} = 47.4986242365556
x39=75.0234892534463x_{39} = 75.0234892534463
x40=−2.76685822088105x_{40} = -2.76685822088105
x41=−19.2242903542475x_{41} = -19.2242903542475
x42=−115.864193750114x_{42} = -115.864193750114
x43=−25.5074756614271x_{43} = -25.5074756614271
x44=68.7403039462667x_{44} = 68.7403039462667
x45=3.51632708629853x_{45} = 3.51632708629853
x46=31.0411921031892x_{46} = 31.0411921031892
x47=−71.8818965998565x_{47} = -71.8818965998565
x48=−103.297823135754x_{48} = -103.297823135754
x49=72.631365465274x_{49} = 72.631365465274
x50=60.0649948509148x_{50} = 60.0649948509148
x51=−69.4897728116842x_{51} = -69.4897728116842
x52=−27.8995994495994x_{52} = -27.8995994495994
x53=−46.7491553711382x_{53} = -46.7491553711382
x54=−50.6402168901454x_{54} = -50.6402168901454
x55=24.7580067960096x_{55} = 24.7580067960096
x56=97.7641066939923x_{56} = 97.7641066939923
x57=−82.0561434260434x_{57} = -82.0561434260434
x58=56.1739333319075x_{58} = 56.1739333319075
x59=49.890748024728x_{59} = 49.890748024728
x60=22.3658830078373x_{60} = 22.3658830078373
x61=−59.3155259854973x_{61} = -59.3155259854973
x62=16.0826977006577x_{62} = 16.0826977006577
x63=−90.7314525213953x_{63} = -90.7314525213953
x64=−75.7729581188638x_{64} = -75.7729581188638
x65=−15.3332288352402x_{65} = -15.3332288352402
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x) + cos(2*x).
2sin⁡(0)+cos⁡(0⋅2)2 \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x)+2cos⁡(x)=0- 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=5π6x_{4} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -3)
  2       

 pi      
(--, 3/2)
 6       

 pi    
(--, 1)
 2     

 5*pi      
(----, 3/2)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[−π2,π6]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡(x)+2cos⁡(2x))=0- 2 \left(\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−215−338+i(1+33)8)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(215−338+i(1+33)8)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(−233+158+i(1−33)8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(233+158+i(1−33)8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π−atan⁡(2(1−33)233+15),atan⁡(2(1−33)233+15)]∪[atan⁡(2(1+33)215−33),∞)\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(2(1−33)233+15)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)+cos⁡(2x))=⟨−3,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -3, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,3⟩y = \left\langle -3, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x) + cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)+cos⁡(2x)=−2sin⁡(x)+cos⁡(2x)2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}
- No
2sin⁡(x)+cos⁡(2x)=2sin⁡(x)−cos⁡(2x)2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2sinx+cos2x
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