Sr Examen

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5-sqrt(-x^2+6*x-5)

Gráfico de la función y = 5-sqrt(-x^2+6*x-5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              ________________
             /    2           
f(x) = 5 - \/  - x  + 6*x - 5 
$$f{\left(x \right)} = 5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5}$$
f = 5 - sqrt(-x^2 + 6*x - 5)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5 - sqrt(-x^2 + 6*x - 5).
$$5 - \sqrt{-5 + \left(- 0^{2} + 0 \cdot 6\right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 5 - \sqrt{5} i$$
Punto:
(0, 5 - i*sqrt(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 - x}{\sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(x - 3\right)^{2}}{- x^{2} + 6 x - 5} + 1}{\sqrt{- x^{2} + 6 x - 5}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5 - sqrt(-x^2 + 6*x - 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5}}{x}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5}}{x}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5} = 5 - \sqrt{- x^{2} - 6 x - 5}$$
- No
$$5 - \sqrt{\left(- x^{2} + 6 x\right) - 5} = \sqrt{- x^{2} - 6 x - 5} - 5$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 5-sqrt(-x^2+6*x-5)