Sr Examen

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Gráfico de la función y = x/4+arcctg(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       x       /x\
f(x) = - + acot|-|
       4       \2/
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
f = x/4 + acot(x/2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/4 + acot(x/2).
$$\frac{0}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{0}{2} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
       1   pi 
(-2, - - - --)
       2   4  

    1   pi 
(2, - + --)
    2   4  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-2, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x}{4 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/4 + acot(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{4}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{4}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{4}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{x}{4} - \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- No
$$\frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{x}{4} + \operatorname{acot}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar