Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2*e^((-1)/x)
-
x^2*e^(2-x)
-
x+27/x^3
-
(x^2-8)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- cbrt((x- uno)*(x- dos)^ dos)
- raíz cúbica de ((x menos 1) multiplicar por (x menos 2) al cuadrado )
- raíz cúbica de ((x menos uno) multiplicar por (x menos dos) en el grado dos)
- cbrt((x-1)*(x-2)2)
- cbrtx-1*x-22
- cbrt((x-1)*(x-2)²)
- cbrt((x-1)*(x-2) en el grado 2)
- cbrt((x-1)(x-2)^2)
- cbrt((x-1)(x-2)2)
- cbrtx-1x-22
- cbrtx-1x-2^2
-
Expresiones semejantes
- cbrt((x-1)*(x+2)^2)
- cbrt((x+1)*(x-2)^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cúbica cbrt
- cbrt((x-1)*(x+2)ˆ2)
- cbrt(2*x^2*(x-6))
- cbrt(x^2)*(2-x)
- cbrt((x+2)*(x^2+4*x+1))
- cbrt(x^2(x-2)^2)
Gráfico de la función y = cbrt((x-1)*(x-2)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
__________________
3 / 2
f(x) = \/ (x - 1)*(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)}$$
f = ((x - 2)^2*(x - 1))^(1/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(2 x - 4\right)}{3}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(2 x - 4\right)}{3}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
2/3
2
(4/3, ----)
3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(3 x - 4\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x - 1} \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} + \frac{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{x - 1} - \frac{3 \left(3 x - 4\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{\frac{5}{3}}} + \frac{6 \left(3 x - 5\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{6 \left(3 x - 4\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}}{9 \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 18948.5558782137$$
$$x_{2} = 35901.2286112093$$
$$x_{3} = 20643.8666929884$$
$$x_{4} = 11319.2765381872$$
$$x_{5} = 30815.4948099009$$
$$x_{6} = 29967.8689284237$$
$$x_{7} = 10471.5028895738$$
$$x_{8} = 7080.00040607479$$
$$x_{9} = 29120.2417851368$$
$$x_{10} = 25729.7180959466$$
$$x_{11} = 34205.9875959473$$
$$x_{12} = 33358.3658464829$$
$$x_{13} = 31663.1195310318$$
$$x_{14} = 13014.7574308897$$
$$x_{15} = 9623.69927526726$$
$$x_{16} = 40986.9354893666$$
$$x_{17} = 17253.2249054703$$
$$x_{18} = 40139.3191112769$$
$$x_{19} = 36748.8479917033$$
$$x_{20} = 16405.5499022853$$
$$x_{21} = 15557.8671683433$$
$$x_{22} = 21491.5160345991$$
$$x_{23} = 12167.0265047884$$
$$x_{24} = 8775.85697262601$$
$$x_{25} = 6231.9390630946$$
$$x_{26} = 37596.4666886084$$
$$x_{27} = 24034.4449390088$$
$$x_{28} = 35053.6084974811$$
$$x_{29} = 41834.5513749648$$
$$x_{30} = 18100.8932663536$$
$$x_{31} = 14710.1753636241$$
$$x_{32} = 24882.0826209975$$
$$x_{33} = 22339.1619472088$$
$$x_{34} = 19796.2134810241$$
$$x_{35} = 28272.6132663924$$
$$x_{36} = 13862.4728194059$$
$$x_{37} = 38444.0847471867$$
$$x_{38} = 27424.9832444717$$
$$x_{39} = 23186.8048075209$$
$$x_{40} = 26577.3515753384$$
$$x_{41} = 39291.7022087908$$
$$x_{42} = 7927.96350941029$$
$$x_{43} = 32510.7431826851$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[40986.9354893666, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 13014.7574308897\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(3 x - 4\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x - 1} \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} + \frac{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{x - 1} - \frac{3 \left(3 x - 4\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{\frac{5}{3}}} + \frac{6 \left(3 x - 5\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{6 \left(3 x - 4\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}}{9 \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 18948.5558782137$$
$$x_{2} = 35901.2286112093$$
$$x_{3} = 20643.8666929884$$
$$x_{4} = 11319.2765381872$$
$$x_{5} = 30815.4948099009$$
$$x_{6} = 29967.8689284237$$
$$x_{7} = 10471.5028895738$$
$$x_{8} = 7080.00040607479$$
$$x_{9} = 29120.2417851368$$
$$x_{10} = 25729.7180959466$$
$$x_{11} = 34205.9875959473$$
$$x_{12} = 33358.3658464829$$
$$x_{13} = 31663.1195310318$$
$$x_{14} = 13014.7574308897$$
$$x_{15} = 9623.69927526726$$
$$x_{16} = 40986.9354893666$$
$$x_{17} = 17253.2249054703$$
$$x_{18} = 40139.3191112769$$
$$x_{19} = 36748.8479917033$$
$$x_{20} = 16405.5499022853$$
$$x_{21} = 15557.8671683433$$
$$x_{22} = 21491.5160345991$$
$$x_{23} = 12167.0265047884$$
$$x_{24} = 8775.85697262601$$
$$x_{25} = 6231.9390630946$$
$$x_{26} = 37596.4666886084$$
$$x_{27} = 24034.4449390088$$
$$x_{28} = 35053.6084974811$$
$$x_{29} = 41834.5513749648$$
$$x_{30} = 18100.8932663536$$
$$x_{31} = 14710.1753636241$$
$$x_{32} = 24882.0826209975$$
$$x_{33} = 22339.1619472088$$
$$x_{34} = 19796.2134810241$$
$$x_{35} = 28272.6132663924$$
$$x_{36} = 13862.4728194059$$
$$x_{37} = 38444.0847471867$$
$$x_{38} = 27424.9832444717$$
$$x_{39} = 23186.8048075209$$
$$x_{40} = 26577.3515753384$$
$$x_{41} = 39291.7022087908$$
$$x_{42} = 7927.96350941029$$
$$x_{43} = 32510.7431826851$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[40986.9354893666, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 13014.7574308897\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)*(x - 2)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \sqrt[3]{- x - 1} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = - \sqrt[3]{- x - 1} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \sqrt[3]{- x - 1} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = - \sqrt[3]{- x - 1} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar