Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt((x-1)*(x-2)^2)

Gráfico de la función y = cbrt((x-1)*(x-2)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________________
       3 /                2 
f(x) = \/  (x - 1)*(x - 2)
f(x)=(x−2)2(x−1)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} 
f = ((x - 2)^2*(x - 1))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−2)2(x−1)3=0\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 1)*(x - 2)^2)^(1/3).
−(−2)23\sqrt[3]{- \left(-2\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−13⋅223f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{-1} \cdot 2^{\frac{2}{3}}
Punto:
(0, (-1)^(1/3)*2^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−13∣x−2∣23((x−2)23+(x−1)(2x−4)3)(x−2)2(x−1)=0\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 2\right)^{2}}{3} + \frac{\left(x - 1\right) \left(2 x - 4\right)}{3}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
Signos de extremos en los puntos:
       2/3 
      2    
(4/3, ----)
       3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,43]\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]
Crece en los intervalos
[43,∞)\left[\frac{4}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(3x−4)(2x−13sign⁡(x−2)∣x−2∣3+∣x−2∣23(x−1)23)x−1−3(3x−4)∣x−2∣23(x−1)53+6(3x−5)∣x−2∣23(x−2)(x−1)23−6(3x−4)∣x−2∣23(x−2)(x−1)239(x−2)=0\frac{\frac{\left(3 x - 4\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x - 1} \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} + \frac{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{x - 1} - \frac{3 \left(3 x - 4\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{\frac{5}{3}}} + \frac{6 \left(3 x - 5\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{6 \left(3 x - 4\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}}{9 \left(x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18948.5558782137x_{1} = 18948.5558782137
x2=35901.2286112093x_{2} = 35901.2286112093
x3=20643.8666929884x_{3} = 20643.8666929884
x4=11319.2765381872x_{4} = 11319.2765381872
x5=30815.4948099009x_{5} = 30815.4948099009
x6=29967.8689284237x_{6} = 29967.8689284237
x7=10471.5028895738x_{7} = 10471.5028895738
x8=7080.00040607479x_{8} = 7080.00040607479
x9=29120.2417851368x_{9} = 29120.2417851368
x10=25729.7180959466x_{10} = 25729.7180959466
x11=34205.9875959473x_{11} = 34205.9875959473
x12=33358.3658464829x_{12} = 33358.3658464829
x13=31663.1195310318x_{13} = 31663.1195310318
x14=13014.7574308897x_{14} = 13014.7574308897
x15=9623.69927526726x_{15} = 9623.69927526726
x16=40986.9354893666x_{16} = 40986.9354893666
x17=17253.2249054703x_{17} = 17253.2249054703
x18=40139.3191112769x_{18} = 40139.3191112769
x19=36748.8479917033x_{19} = 36748.8479917033
x20=16405.5499022853x_{20} = 16405.5499022853
x21=15557.8671683433x_{21} = 15557.8671683433
x22=21491.5160345991x_{22} = 21491.5160345991
x23=12167.0265047884x_{23} = 12167.0265047884
x24=8775.85697262601x_{24} = 8775.85697262601
x25=6231.9390630946x_{25} = 6231.9390630946
x26=37596.4666886084x_{26} = 37596.4666886084
x27=24034.4449390088x_{27} = 24034.4449390088
x28=35053.6084974811x_{28} = 35053.6084974811
x29=41834.5513749648x_{29} = 41834.5513749648
x30=18100.8932663536x_{30} = 18100.8932663536
x31=14710.1753636241x_{31} = 14710.1753636241
x32=24882.0826209975x_{32} = 24882.0826209975
x33=22339.1619472088x_{33} = 22339.1619472088
x34=19796.2134810241x_{34} = 19796.2134810241
x35=28272.6132663924x_{35} = 28272.6132663924
x36=13862.4728194059x_{36} = 13862.4728194059
x37=38444.0847471867x_{37} = 38444.0847471867
x38=27424.9832444717x_{38} = 27424.9832444717
x39=23186.8048075209x_{39} = 23186.8048075209
x40=26577.3515753384x_{40} = 26577.3515753384
x41=39291.7022087908x_{41} = 39291.7022087908
x42=7927.96350941029x_{42} = 7927.96350941029
x43=32510.7431826851x_{43} = 32510.7431826851

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[40986.9354893666,∞)\left[40986.9354893666, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,13014.7574308897]\left(-\infty, 13014.7574308897\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−2)2(x−1)3=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x−2)2(x−1)3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)*(x - 2)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−13∣x−2∣23x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(x−13∣x−2∣23x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x - 1} \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−2)2(x−1)3=−x−13∣x+2∣23\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = \sqrt[3]{- x - 1} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
(x−2)2(x−1)3=−−x−13∣x+2∣23\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)} = - \sqrt[3]{- x - 1} \left|{x + 2}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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