Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^4+2x^2+3 -x^4+2x^2+3
  • (x^4+2*x^5)/(x+2) (x^4+2*x^5)/(x+2)
  • x^(4)-2*x^(3)+5*x^(2)-2*x x^(4)-2*x^(3)+5*x^(2)-2*x
  • x^4-5x+4 x^4-5x+4
  • Integral de d{x}:
  • (x^2)/(x^2+1)^2

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos)/(x^ dos + uno)^ dos
  • (x al cuadrado ) dividir por (x al cuadrado más 1) al cuadrado
  • (x en el grado dos) dividir por (x en el grado dos más uno) en el grado dos
  • (x2)/(x2+1)2
  • x2/x2+12
  • (x²)/(x²+1)²
  • (x en el grado 2)/(x en el grado 2+1) en el grado 2
  • x^2/x^2+1^2
  • (x^2) dividir por (x^2+1)^2

  • Expresiones semejantes

  • (x^2)/(x^2-1)^2
Trazado el gráfico de la función/ (x^2)/(x^2+1)^2

Gráfico de la función y = (x^2)/(x^2+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2   
           x    
f(x) = ---------
               2
       / 2    \ 
       \x  + 1/
f(x)=x2(x2+1)2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} 
f = x^2/(x^2 + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.000.50
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(x2+1)2=0\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/(x^2 + 1)^2.
02(02+1)2\frac{0^{2}}{\left(0^{2} + 1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x3(x2+1)3+2x(x2+1)2=0- \frac{4 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 1/4)

(0, 0)

(1, 1/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[0,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x2(6x2x2+1−1)x2+1−8x2x2+1+1)(x2+1)2=0\frac{2 \left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1} - \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43−133x_{1} = - \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}
x2=43−133x_{2} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}
x3=−133+43x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}
x4=133+43x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[133+43,∞)\left[\sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−43−133]∪[43−133,133+43]\left(-\infty, - \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{13}}{3}}, \sqrt{\frac{\sqrt{13}}{3} + \frac{4}{3}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x2+1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x2(x2+1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(x^2 + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(x2+1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x(x2+1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(x2+1)2=x2(x2+1)2\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
- Sí
x2(x2+1)2=−x2(x2+1)2\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
es
par
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