Sr Examen

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8*cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ 8*cos(x)

Gráfico de la función y = 8*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 8*cos(x)
f(x)=8cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 8 \cos{\left(x \right)} 
f = 8*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
8cos⁡(x)=08 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=32.9867228626928x_{1} = 32.9867228626928
x2=73.8274273593601x_{2} = 73.8274273593601
x3=4.71238898038469x_{3} = 4.71238898038469
x4=39.2699081698724x_{4} = 39.2699081698724
x5=95.8185759344887x_{5} = 95.8185759344887
x6=45.553093477052x_{6} = 45.553093477052
x7=70.6858347057703x_{7} = 70.6858347057703
x8=−10.9955742875643x_{8} = -10.9955742875643
x9=−58.1194640914112x_{9} = -58.1194640914112
x10=−23.5619449019235x_{10} = -23.5619449019235
x11=26.7035375555132x_{11} = 26.7035375555132
x12=−26.7035375555132x_{12} = -26.7035375555132
x13=−89.5353906273091x_{13} = -89.5353906273091
x14=−387.986692718339x_{14} = -387.986692718339
x15=−17.2787595947439x_{15} = -17.2787595947439
x16=−42.4115008234622x_{16} = -42.4115008234622
x17=−61.261056745001x_{17} = -61.261056745001
x18=92.6769832808989x_{18} = 92.6769832808989
x19=−76.9690200129499x_{19} = -76.9690200129499
x20=−92.6769832808989x_{20} = -92.6769832808989
x21=−98.9601685880785x_{21} = -98.9601685880785
x22=61.261056745001x_{22} = 61.261056745001
x23=−54.9778714378214x_{23} = -54.9778714378214
x24=42.4115008234622x_{24} = 42.4115008234622
x25=−64.4026493985908x_{25} = -64.4026493985908
x26=67.5442420521806x_{26} = 67.5442420521806
x27=−7.85398163397448x_{27} = -7.85398163397448
x28=80.1106126665397x_{28} = 80.1106126665397
x29=−14.1371669411541x_{29} = -14.1371669411541
x30=14.1371669411541x_{30} = 14.1371669411541
x31=−1.5707963267949x_{31} = -1.5707963267949
x32=1.5707963267949x_{32} = 1.5707963267949
x33=29.845130209103x_{33} = 29.845130209103
x34=10.9955742875643x_{34} = 10.9955742875643
x35=17.2787595947439x_{35} = 17.2787595947439
x36=−51.8362787842316x_{36} = -51.8362787842316
x37=−29.845130209103x_{37} = -29.845130209103
x38=−48.6946861306418x_{38} = -48.6946861306418
x39=−73.8274273593601x_{39} = -73.8274273593601
x40=23.5619449019235x_{40} = 23.5619449019235
x41=20.4203522483337x_{41} = 20.4203522483337
x42=−86.3937979737193x_{42} = -86.3937979737193
x43=54.9778714378214x_{43} = 54.9778714378214
x44=−168.075206967054x_{44} = -168.075206967054
x45=58.1194640914112x_{45} = 58.1194640914112
x46=51.8362787842316x_{46} = 51.8362787842316
x47=−67.5442420521806x_{47} = -67.5442420521806
x48=−4.71238898038469x_{48} = -4.71238898038469
x49=−45.553093477052x_{49} = -45.553093477052
x50=−70.6858347057703x_{50} = -70.6858347057703
x51=−2266.65909956504x_{51} = -2266.65909956504
x52=48.6946861306418x_{52} = 48.6946861306418
x53=−83.2522053201295x_{53} = -83.2522053201295
x54=−95.8185759344887x_{54} = -95.8185759344887
x55=89.5353906273091x_{55} = 89.5353906273091
x56=−39.2699081698724x_{56} = -39.2699081698724
x57=76.9690200129499x_{57} = 76.9690200129499
x58=−32.9867228626928x_{58} = -32.9867228626928
x59=−20.4203522483337x_{59} = -20.4203522483337
x60=−36.1283155162826x_{60} = -36.1283155162826
x61=7.85398163397448x_{61} = 7.85398163397448
x62=−80.1106126665397x_{62} = -80.1106126665397
x63=86.3937979737193x_{63} = 86.3937979737193
x64=98.9601685880785x_{64} = 98.9601685880785
x65=36.1283155162826x_{65} = 36.1283155162826
x66=64.4026493985908x_{66} = 64.4026493985908
x67=83.2522053201295x_{67} = 83.2522053201295
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 8*cos(x).
8cos⁡(0)8 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=8f{\left(0 \right)} = 8
Punto:
(0, 8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8sin⁡(x)=0- 8 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 8)

(pi, -8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−8cos⁡(x)=0- 8 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(8cos⁡(x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to -\infty}\left(8 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
lim⁡x→∞(8cos⁡(x))=⟨−8,8⟩\lim_{x \to \infty}\left(8 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -8, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−8,8⟩y = \left\langle -8, 8\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 8*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(8cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(8cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
8cos⁡(x)=8cos⁡(x)8 \cos{\left(x \right)} = 8 \cos{\left(x \right)}
- Sí
8cos⁡(x)=−8cos⁡(x)8 \cos{\left(x \right)} = - 8 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 8*cos(x)
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