Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ log(x)/(1-x^3)

Gráfico de la función y = log(x)/(1-x^3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
            3
       1 - x
f(x)=log⁡(x)1−x3f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{1 - x^{3}} 
f = log(x)/(1 - x^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)1−x3=0\frac{\log{\left(x \right)}}{1 - x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=47430.9953054524x_{1} = 47430.9953054524
x2=27224.0737593857x_{2} = 27224.0737593857
x3=26149.8878772177x_{3} = 26149.8878772177
x4=32575.7896688071x_{4} = 32575.7896688071
x5=48486.3667646424x_{5} = 48486.3667646424
x6=41084.186870042x_{6} = 41084.186870042
x7=33642.6912366701x_{7} = 33642.6912366701
x8=25074.2619854407x_{8} = 25074.2619854407
x9=54805.7266386374x_{9} = 54805.7266386374
x10=31507.8095007772x_{10} = 31507.8095007772
x11=37900.3588505534x_{11} = 37900.3588505534
x12=51648.7054287461x_{12} = 51648.7054287461
x13=46374.9642358813x_{13} = 46374.9642358813
x14=28296.8939624598x_{14} = 28296.8939624598
x15=20755.5809128493x_{15} = 20755.5809128493
x16=49541.0972675168x_{16} = 49541.0972675168
x17=38962.4779282805x_{17} = 38962.4779282805
x18=34708.5588924511x_{18} = 34708.5588924511
x19=42143.8339081684x_{19} = 42143.8339081684
x20=45318.2538981481x_{20} = 45318.2538981481
x21=43202.7112817725x_{21} = 43202.7112817725
x22=21837.8802893213x_{22} = 21837.8802893213
x23=36837.3554376953x_{23} = 36837.3554376953
x24=52701.6159942844x_{24} = 52701.6159942844
x25=23997.1141874666x_{25} = 23997.1141874666
x26=50595.2045366551x_{26} = 50595.2045366551
x27=30438.7024510634x_{27} = 30438.7024510634
x28=44260.8435510458x_{28} = 44260.8435510458
x29=29368.4162144867x_{29} = 29368.4162144867
x30=40023.7441080434x_{30} = 40023.7441080434
x31=22918.3538660799x_{31} = 22918.3538660799
x32=35773.434103039x_{32} = 35773.434103039
x33=53753.9515320081x_{33} = 53753.9515320081
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/(1 - x^3).
log⁡(0)1−03\frac{\log{\left(0 \right)}}{1 - 0^{3}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2log⁡(x)(1−x3)2+1x(1−x3)=0\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{\left(1 - x^{3}\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(1 - x^{3}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=9963.90485468821x_{1} = 9963.90485468821
x2=6405.70861511194x_{2} = 6405.70861511194
x3=7680.52516238245x_{3} = 7680.52516238245
x4=6916.26978878302x_{4} = 6916.26978878302
x5=9710.79807046126x_{5} = 9710.79807046126
x6=3836.08497902443x_{6} = 3836.08497902443
x7=5638.05450571624x_{7} = 5638.05450571624
x8=6661.10182508213x_{8} = 6661.10182508213
x9=11479.8825179676x_{9} = 11479.8825179676
x10=4094.63438885513x_{10} = 4094.63438885513
x11=7171.22323107715x_{11} = 7171.22323107715
x12=8950.62963998711x_{12} = 8950.62963998711
x13=7425.97199928656x_{13} = 7425.97199928656
x14=12488.2612315455x_{14} = 12488.2612315455
x15=12740.0998804738x_{15} = 12740.0998804738
x16=2273.37146765975x_{16} = 2273.37146765975
x17=9457.55320223146x_{17} = 9457.55320223146
x18=8696.94035541435x_{18} = 8696.94035541435
x19=5381.63097441916x_{19} = 5381.63097441916
x20=12236.3228999422x_{20} = 12236.3228999422
x21=3057.5082492685x_{21} = 3057.5082492685
x22=3577.07702587332x_{22} = 3577.07702587332
x23=2535.48828197001x_{23} = 2535.48828197001
x24=12991.8413873405x_{24} = 12991.8413873405
x25=10216.8780873997x_{25} = 10216.8780873997
x26=10722.4407483447x_{26} = 10722.4407483447
x27=9204.16543398109x_{27} = 9204.16543398109
x28=6150.07844026416x_{28} = 6150.07844026416
x29=4352.76181950757x_{29} = 4352.76181950757
x30=4867.87375521718x_{30} = 4867.87375521718
x31=5894.19845124857x_{31} = 5894.19845124857
x32=10975.0380223066x_{32} = 10975.0380223066
x33=3317.56805358394x_{33} = 3317.56805358394
x34=8189.07755643707x_{34} = 8189.07755643707
x35=2796.83858070085x_{35} = 2796.83858070085
x36=8443.09174317264x_{36} = 8443.09174317264
x37=11984.2822228925x_{37} = 11984.2822228925
x38=7934.89109611306x_{38} = 7934.89109611306
x39=11227.5174719074x_{39} = 11227.5174719074
x40=11732.1364068337x_{40} = 11732.1364068337
x41=4610.49901646492x_{41} = 4610.49901646492
x42=5124.91050813349x_{42} = 5124.91050813349
x43=10469.7220409221x_{43} = 10469.7220409221
Signos de extremos en los puntos:
(9963.904854688211, -9.30714380047368e-12)

(6405.708615111937, -3.33462997017886e-11)

(7680.52516238245, -1.97459330559504e-11)

(6916.2697887830245, -2.67249345621418e-11)

(9710.798070461262, -1.00259358527393e-11)

(3836.084979024432, -1.46185900177844e-10)

(5638.054505716243, -4.8193659991141e-11)

(6661.101825082126, -2.97881682860824e-11)

(11479.882517967628, -6.17906408914731e-12)

(4094.6343888551323, -1.21155715685587e-10)

(7171.223231077147, -2.40728313804408e-11)

(8950.629639987113, -1.26898290921069e-11)

(7425.97199928656, -2.17646285842089e-11)

(12488.261231545463, -4.84309438458862e-12)

(12740.099880473812, -4.5711832999739e-12)

(2273.371467659754, -6.57829239397207e-10)

(9457.553202231456, -1.08218503108339e-11)

(8696.940355414352, -1.37893120661413e-11)

(5381.630974419163, -5.51174572864881e-11)

(12236.322899942223, -5.13732100551212e-12)

(3057.5082492685, -2.8077689736733e-10)

(3577.0770258733155, -1.78768332926252e-10)

(2535.488281970006, -4.80870656963401e-10)

(12991.84138734049, -4.31949607570386e-12)

(10216.878087399706, -8.65628569788149e-12)

(10722.440748344714, -7.52785793350803e-12)

(9204.165433981094, -1.1705618858673e-11)

(6150.078440264156, -3.75046096436152e-11)

(4352.76181950757, -1.01595617773382e-10)

(4867.873755217183, -7.36056024826249e-11)

(5894.198451248568, -4.23966659039237e-11)

(10975.038022306644, -7.03756791799516e-12)

(3317.5680535839447, -2.22024024470886e-10)

(8189.077556437071, -1.64076605863981e-11)

(2796.8385807008453, -3.62754542857942e-10)

(8443.09174317264, -1.50216255591105e-11)

(11984.28222289251, -5.45622160300699e-12)

(7934.891096113063, -1.79724078112341e-11)

(11227.517471907355, -6.58946140210819e-12)

(11732.13640683374, -5.80246212835362e-12)

(4610.499016464919, -8.60790517369294e-11)

(5124.910508133491, -6.34591155633109e-11)

(10469.722040922059, -8.06546257819194e-12)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−6x(3x3x3−1−1)log⁡(x)x3−1+6xx3−1+1x2x3−1=0\frac{- \frac{6 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{3} - 1} + \frac{6 x}{x^{3} - 1} + \frac{1}{x^{2}}}{x^{3} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3613.36652337033x_{1} = 3613.36652337033
x2=2890.59840133514x_{2} = 2890.59840133514
x3=1224.1111400454x_{3} = 1224.1111400454
x4=3510.2734460219x_{4} = 3510.2734460219
x5=3200.68820355895x_{5} = 3200.68820355895
x6=1329.17737638668x_{6} = 1329.17737638668
x7=1118.85920972512x_{7} = 1118.85920972512
x8=2683.55732909716x_{8} = 2683.55732909716
x9=4025.27668509708x_{9} = 4025.27668509708
x10=1434.07511342562x_{10} = 1434.07511342562
x11=4333.76628467075x_{11} = 4333.76628467075
x12=3303.93629979645x_{12} = 3303.93629979645
x13=5257.29942888661x_{13} = 5257.29942888661
x14=1013.40130354844x_{14} = 1013.40130354844
x15=695.527650532721x_{15} = 695.527650532721
x16=4230.97589849772x_{16} = 4230.97589849772
x17=5052.29780373644x_{17} = 5052.29780373644
x18=3922.3652671549x_{18} = 3922.3652671549
x19=4949.75076893817x_{19} = 4949.75076893817
x20=4847.17182290397x_{20} = 4847.17182290397
x21=2994.02175868901x_{21} = 2994.02175868901
x22=4744.56009303856x_{22} = 4744.56009303856
x23=3819.41078431818x_{23} = 3819.41078431818
x24=1538.81903733918x_{24} = 1538.81903733918
x25=3097.38415955266x_{25} = 3097.38415955266
x26=1643.42178885598x_{26} = 1643.42178885598
x27=2164.65761285059x_{27} = 2164.65761285059
x28=1956.48592360757x_{28} = 1956.48592360757
x29=2268.60216562822x_{29} = 2268.60216562822
x30=4539.23456978383x_{30} = 4539.23456978383
x31=2476.23539818358x_{31} = 2476.23539818358
x32=2787.11127509005x_{32} = 2787.11127509005
x33=3716.41173543093x_{33} = 3716.41173543093
x34=4641.91466305846x_{34} = 4641.91466305846
x35=2579.93324421231x_{35} = 2579.93324421231
x36=3407.1306861231x_{36} = 3407.1306861231
x37=1852.24623575194x_{37} = 1852.24623575194
x38=907.713352173315x_{38} = 907.713352173315
x39=2372.45982479133x_{39} = 2372.45982479133
x40=4436.51879961723x_{40} = 4436.51879961723
x41=801.766727880425x_{41} = 801.766727880425
x42=1747.89433018373x_{42} = 1747.89433018373
x43=5154.81375913445x_{43} = 5154.81375913445
x44=588.957688527063x_{44} = 588.957688527063
x45=2060.62084077672x_{45} = 2060.62084077672
x46=4128.1464513778x_{46} = 4128.1464513778
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−6x(3x3x3−1−1)log⁡(x)x3−1+6xx3−1+1x2x3−1)=−1\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{6 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{3} - 1} + \frac{6 x}{x^{3} - 1} + \frac{1}{x^{2}}}{x^{3} - 1}\right) = -1
lim⁡x→1+(−6x(3x3x3−1−1)log⁡(x)x3−1+6xx3−1+1x2x3−1)=−1\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{6 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{3} - 1} + \frac{6 x}{x^{3} - 1} + \frac{1}{x^{2}}}{x^{3} - 1}\right) = -1
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)1−x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{1 - x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)1−x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{1 - x^{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/(1 - x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x(1−x3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - x^{3}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)x(1−x3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \left(1 - x^{3}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)1−x3=log⁡(−x)x3+1\frac{\log{\left(x \right)}}{1 - x^{3}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3} + 1}
- No
log⁡(x)1−x3=−log⁡(−x)x3+1\frac{\log{\left(x \right)}}{1 - x^{3}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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