Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/((x+1)(x+2))

Gráfico de la función y = x/((x+1)(x+2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              x       
f(x) = ---------------
       (x + 1)*(x + 2)
f(x)=x(x+1)(x+2)f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} 
f = x/(((x + 1)*(x + 2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+1)(x+2)=0\frac{x}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(((x + 1)*(x + 2))).
02\frac{0}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(−2x−3)(x+1)2(x+2)2+1(x+1)(x+2)=0\frac{x \left(- 2 x - 3\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
x2=2x_{2} = \sqrt{2}
Signos de extremos en los puntos:
                    ___          
    ___          -\/ 2           
(-\/ 2, -----------------------)
         /      ___\ /      ___\ 
         \1 - \/ 2 /*\2 - \/ 2 / 

                   ___          
   ___           \/ 2           
(\/ 2, -----------------------)
        /      ___\ /      ___\ 
        \1 + \/ 2 /*\2 + \/ 2 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = - \sqrt{2}
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
[−2,2]\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x((2x+3)(1x+2+1x+1)−2+2x+3x+2+2x+3x+1)−4x−6(x+1)2(x+2)2=0\frac{x \left(\left(2 x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 1}\right) - 2 + \frac{2 x + 3}{x + 2} + \frac{2 x + 3}{x + 1}\right) - 4 x - 6}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23+223x_{1} = \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=−1x_{2} = -1

lim⁡x→−2−(x((2x+3)(1x+2+1x+1)−2+2x+3x+2+2x+3x+1)−4x−6(x+1)2(x+2)2)=−∞\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 1}\right) - 2 + \frac{2 x + 3}{x + 2} + \frac{2 x + 3}{x + 1}\right) - 4 x - 6}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−2+(x((2x+3)(1x+2+1x+1)−2+2x+3x+2+2x+3x+1)−4x−6(x+1)2(x+2)2)=∞\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 1}\right) - 2 + \frac{2 x + 3}{x + 2} + \frac{2 x + 3}{x + 1}\right) - 4 x - 6}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→−1−(x((2x+3)(1x+2+1x+1)−2+2x+3x+2+2x+3x+1)−4x−6(x+1)2(x+2)2)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 1}\right) - 2 + \frac{2 x + 3}{x + 2} + \frac{2 x + 3}{x + 1}\right) - 4 x - 6}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(x((2x+3)(1x+2+1x+1)−2+2x+3x+2+2x+3x+1)−4x−6(x+1)2(x+2)2)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 3\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 1}\right) - 2 + \frac{2 x + 3}{x + 2} + \frac{2 x + 3}{x + 1}\right) - 4 x - 6}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=−1x_{2} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[23+223,∞)\left[\sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,23+223]\left(-\infty, \sqrt[3]{2} + 2^{\frac{2}{3}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=−1x_{2} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+1)(x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x+1)(x+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(((x + 1)*(x + 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x+1)(x+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x+1)(x+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+1)(x+2)=−x(1−x)(2−x)\frac{x}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = - \frac{x}{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right)}
- No
x(x+1)(x+2)=x(1−x)(2−x)\frac{x}{\left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = \frac{x}{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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